数组中子数组之和最大问题

　　问题描述：给定一个包含N个元素的数据A(A[0], A[1], A[2]...A[N-1])，这个数组自然有很多子数组，那么，这些子数组之和的最大值是什么？

　　Example: 数组[1, -2, 3, 5, -3, 2]，最大的子数据是[3, 5]，和为8。

　　解法一：穷举法

　　最直接，也是最简单的方法，穷举子数组A[i:j]的和，找出一个最大的，算法的时间复杂度O(N²)，算法的代码如下：

#include <iostream>
#include <climits>

using namespace std;

int max_sub_sum(const int* A, int n)
{
    int max_sum = INT_MIN;

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int sub_sum = 0;
        for (int j = i; j < n; j++)
        {
            sub_sum += A[j];                //sum(i,j)
            if ( max_sum < sub_sum)
            {
                max_sum = sub_sum;
            }
        }
    }

    return max_sum;

}

int main()
{
    int A[] = {1, -2, 3, 5, -3, 2};
    int max_sum = max_sub_sum(A, sizeof(A) / sizeof(int));
    cout<<"max sub sum:"<<max_sum<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　解法二：分治法

　　将数组分成两个子数组:A[0：n/2]和A[n/2 + 1, n]那么最大的组数据之和，必然出现在以下三种情况;

　　1）最大子段与A[0：n/2]重合；

　　2）最大子段与A[n/2 + 1, n]重合

　　3）最大子段夸过A[0：n/2]和A[n/2 + 1, n-1]两段。

　　对于1）、2）两种情况可以递归解决，而对于第三种情况，我们只要找到A[0：n/2]以n/2为终点最大和，A[n/2 + 1, n-1]以n/2 + 1为起点的最大和，两种相加即可。

算法的时间复杂度为O(NlogN)，代码如下：

#include <iostream>
#include <climits>

using namespace std;

int max_sub_sum(int* A, int i, int j)
{
    if (i == j)
    {
        return A[i];
    }

    int mid = (i + j) / 2;
    int max_sum = max(max_sub_sum(A, i, mid), max_sub_sum(A, mid+1, j));
    
    int left_mid_max_sum = INT_MIN;
    int mid_sum = 0;
    for (int k =mid; k >= i; k--)
    {
        mid_sum += A[k];
        if (left_mid_max_sum < mid_sum)
        {
            left_mid_max_sum = mid_sum;
        }
    }

    int right_mid_max_sum = INT_MIN;
    mid_sum = 0;
    for (int k = mid+1; k <= j; k++)
    {
        mid_sum += A[k];
        if (right_mid_max_sum < mid_sum)
        {
            right_mid_max_sum = mid_sum;
        }

    }

    max_sum = max(max_sum, left_mid_max_sum + right_mid_max_sum);

    return max_sum;

}

int main()
{
    int A[] = {1, -2, 3, 5, -3, 2};
    int max_sum = max_sub_sum(A, 0, (sizeof(A) / sizeof(int)) -1);
    cout<<"max sub sum:"<<max_sum<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　解法三：动态规划

　　动态规划问题依赖于两个基本因素：1）最优子结构；2）重叠结构。首先定义两个量All(i)和Start(i)，All(i)表示从A[i:n-1]数组中最大的子段和，Start(i)则表示了以下表i作为起始位置的最大子段和，那么该问题的最优的递归表达式：

　　All(i) = max(All(i+1), start(i))

　　这个公式表示，All(i)取：从i下标开始的字段数组start(i)，从i+1开始的最大字段和All(i+1)之间的最大值， start(i)的定义如下：

　　start(i) = max(A[i], A[i] + start(i+1))

该解法的代码如下：

#include <iostream>
#include <climits>

using namespace std;

int max_sub_sum(int* A, int n)
{
    int all = A[n-1];
    int start = A[n -1];

    for (int i = n -2; i >= 0; i--)
    {
        start = max(A[i], A[i] + start);        //start(i) = max(A[i], start(i+1))
        all = max(all, start);
    }

    return all;
}

int main()
{
    int A[] = {1, -2, 3, 5, -3, 2};
    int max_sum = max_sub_sum(A, sizeof(A) / sizeof(int));
    cout<<"max sub sum:"<<max_sum<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

　　最后一种方法是淳朴的迭代算法。

　　迭代算法看起来简单，但是这个问题但有着极其惊人的疗效:1)用变量per_sum保存当前以i-1作为结束下标的字段数组和，如果per_sum小于0（前面的部分起到了“负面”作用，需要舍弃），从下标i开始从新字段数组，于此同时，不断比较每次字段数组的最大值，当迭代结束是，便会得到字段数组的组大和。　

#include <iostream>
#include <climits>

using namespace std;

int max_sub_sum(int* A, int n)
{
    int max_sum = INT_MIN;
    int sum = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (sum < 0)                //前面的元素提到了负面作用，需要舍弃
        {
            sum = A[i];
        }
        else
        {
            sum += A[i];            //前面的元素提到了正面作用，需要保留
        }
        if (sum > max_sum)
        {
            max_sum = sum;
        }
    }

    return max_sum;

}
int main()
{
    int A[] = {1, -2, 3, 5, -3, 2};
    int max_sum = max_sub_sum(A, sizeof(A) / sizeof(int));
    cout<<"max sub sum:"<<max_sum<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}