应用数理统计笔记

次序统计量与经验分布函数

经验分布函数是一个样本的分布函数，根据样本的频率计算得到，分布函数是总体的分布函数，是概率决定的。
经验分布函数的期望是总体分布函数。

gamma分布族

gamma分布的定义

密度函数：

\[f(x:\alpha, \lambda)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x>0 \]

称\(X\)服从Gamma分布，记作\(Ga(\alpha,\lambda)\)
其中\(\alpha>0\)是形状参数，\(\lambda>0\)是尺度参数。\(\{Ga(\alpha,\lambda):\alpha>0,\lambda>0\}\)称为Gamma分布族。

指数分布是gamma分布的特例

当gamma分布的第一个参数是1时，就是指数分布。i.e. \(Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)\)

gamma分布的性质

\(E(X)=\frac{\alpha}{\lambda}, D(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}\)

可加性：\(X_1\sim Ga(\alpha_1,\lambda),X_2\sim Ga(\alpha_2,\lambda)\)，并且相互独立，则\(Y=X_1+X_2\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)\)
乘法：\(X\sim Ga(\alpha,\lambda),Y=kX\)，则\(Y\sim Ga(\alpha,\frac{\lambda}{k})\)

卡方分布

1. \(Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\)称为n个自由度的\(\chi^2\)分布，记作\(\chi^2(n)\)
2. \(X\sim N(0,1)\)则\(Y=X^2 \sim \chi^2(1)\)
3. 用正态分布定义卡方分布
   1. \(X_i\sim N(0,1) iid\) ,则\(Y=X_1^2 + X_2^2+\cdots + X_n^2\sim \chi^2(n)\)（由gamma分布的可加性）
   2. \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则\(\Sigma_{i=1}^n(\frac{x_i - \mu}{\sigma})^2\sim \chi^2(n)\)
      自由度的意思就是独立随机变量的个数。
      也就是说，n个标准正态分布的平方和就是自由度为n的卡方分布

卡方分布的性质：

1. \(E(X)=n, D(X)=2n\)
2. 卡方分布可加（由gamma分布可加性可得）
3. \(\chi^2(2)=Ga(1,1/2)=Exp(1/2)\)

Cochran分解定理