应用数理统计笔记
次序统计量与经验分布函数
经验分布函数是一个样本的分布函数,根据样本的频率计算得到,分布函数是总体的分布函数,是概率决定的。
经验分布函数的期望是总体分布函数。
gamma分布族
gamma分布的定义
密度函数:
\[f(x:\alpha, \lambda)=\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x>0
\]
称\(X\)服从Gamma分布,记作\(Ga(\alpha,\lambda)\)
其中\(\alpha>0\)是形状参数,\(\lambda>0\)是尺度参数。\(\{Ga(\alpha,\lambda):\alpha>0,\lambda>0\}\)称为Gamma分布族。
指数分布是gamma分布的特例
当gamma分布的第一个参数是1时,就是指数分布。i.e. \(Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)\)
gamma分布的性质
\(E(X)=\frac{\alpha}{\lambda}, D(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}\)
可加性:\(X_1\sim Ga(\alpha_1,\lambda),X_2\sim Ga(\alpha_2,\lambda)\),并且相互独立,则\(Y=X_1+X_2\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)\)
乘法:\(X\sim Ga(\alpha,\lambda),Y=kX\),则\(Y\sim Ga(\alpha,\frac{\lambda}{k})\)
卡方分布
- \(Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\)称为n个自由度的\(\chi^2\)分布,记作\(\chi^2(n)\)
- \(X\sim N(0,1)\)则\(Y=X^2 \sim \chi^2(1)\)
- 用正态分布定义卡方分布
- \(X_i\sim N(0,1) iid\) ,则\(Y=X_1^2 + X_2^2+\cdots + X_n^2\sim \chi^2(n)\)(由gamma分布的可加性)
- \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\),则\(\Sigma_{i=1}^n(\frac{x_i - \mu}{\sigma})^2\sim \chi^2(n)\)
自由度的意思就是独立随机变量的个数。
也就是说,n个标准正态分布的平方和就是自由度为n的卡方分布
卡方分布的性质:
- \(E(X)=n, D(X)=2n\)
- 卡方分布可加(由gamma分布可加性可得)
- \(\chi^2(2)=Ga(1,1/2)=Exp(1/2)\)