manim边学边做--同伦变换
在Manim中，移动一个元素除了之前介绍的方法之外，还可以通过同伦运算来移动一个元素。
与普通的移动元素方式相比，使用同伦运算移动一个元素时，实际上是在考虑整个空间的连续变形过程中元素的相应变化。
这种移动不是孤立地看待元素的位置改变，而是将元素置于空间的整体结构中，通过连续变形的方式实现元素的 “移动”。
简单来说，元素的同伦移动是通过连续变形实现的，不存在突然的跳跃或中断。
在同伦运算中，元素的每一个中间状态都与前后状态连续过渡，保持了整个移动过程的连贯性。
Manim中关于同伦移动的动画类主要有：
ComplexHomotopy：用于展示复函数之间的同伦变换Homotopy：更通用的同伦动画效果类，它可以用于展示任意两个对象之间的同伦变换，不仅仅局限于复函数SmoothedVectorizedHomotopy：对向量场进行平滑的同伦变换
1. 动画概述
1.1. ComplexHomotopy
ComplexHomotopy通常需要接收两个复函数作为参数，通过在复平面上对这两个函数进行采样，得到一系列的复数点。
然后，在动画过程中，按照一定的插值方法，逐步将第一个函数对应的点变换到第二个函数对应的点。
它的参数主要有：
| 参数名称 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| complex_homotopy | func | 定义了复平面上的同伦变换规则的函数 |
| mobject | Mobject | 要应用同伦变换的数学对象 |
complex_homotopy参数是一个函数，它接受一个复数作为参数，并返回一个浮点数。
1.2. Homotopy
Homotopy需要定义起始对象和目标对象，以及一个描述同伦过程的函数。
在动画运行时，根据时间参数，通过同伦函数计算出每个时刻对象的中间状态，
这个中间状态的计算可能涉及到对象的几何属性（如点的坐标、图形的形状参数等）的插值和变换。
它的参数主要有：
| 参数名称 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| homotopy | func | 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数 |
| mobject | Mobject | 要应用同伦变换的数学对象 |
| apply_function_kwargs | dict | 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息 |
homotopy参数是一个参数，它接受四个数$ (x,y,z,t) \(作为参数，分别表示对象在三维空间中的坐标\) (x,y,z) \(以及动画时间参数\) t $（的取值范围从 0 到 1），
并返回一个包含三个数的元组$ (x',y',z') \(，表示在时间\) t $时，原始坐标对应的点经过同伦变换后的新坐标。
1.3. SmoothedVectorizedHomotopy
SmoothedVectorizedHomotopy首先需要获取起始向量场和目标向量场的信息，例如向量的大小和方向。
在动画过程中，通过一种平滑的插值算法来计算中间时刻向量场的向量值，这种算法可能会考虑向量场的梯度、散度等属性，以确保向量的变化是连续且符合物理规律的。
在每一帧动画中，根据计算得到的向量值绘制出相应的向量场，展示出向量场的平滑同伦变换。
它的参数主要有：
| 参数名称 | 类型 | 说明 |
|---|---|---|
| homotopy | func | 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数 |
| mobject | Mobject | 要应用同伦变换的数学对象 |
| apply_function_kwargs | dict | 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息 |
SmoothedVectorizedHomotopy参数和Homotopy参数的含义是一样的。
SmoothedVectorizedHomotopy侧重于向量场的平滑同伦变换，虽然参数类似但主要针对向量场，确保其变换过程平滑，在涉及向量场的场景（如物理场模拟）中发挥独特作用。
2. 使用示例
这几个同伦变换的类使用起来没有那么直观，下面通过几个示例来演示如何使用这些类。
2.1. 复函数同伦变换展示
这个示例利用ComplexHomotopy展示了复函数$ f(z)=e^z \(到\) g(z)=sin(z) $的同伦变换过程。
通过在复平面上创建一系列的点来模拟这个变换的过程。
# 创建复平面
plane = ComplexPlane(
x_range=[-8, 8],
y_range=[-8, 8],
x_length=6,
y_length=6,
)
self.add(plane)
# 定义两个复函数
def f(z):
return np.exp(z)
def g(z):
return np.sin(z)
# ComplexHomotopy动画
homotopy = lambda z, t: (1 - t) * f(z) + t * g(z)
# 要应用动画的点集
points = [
complex(x, y) for x in np.arange(-3, 3, 0.5) for y in np.arange(-3, 3, 0.5)
]
mobject = VGroup(*[Dot(plane.n2p(p)) for p in points])
self.add(mobject)
self.play(
ComplexHomotopy(homotopy, mobject),
run_time=3,
)
2.2. 圆形的同伦收缩演示
借助Homotopy实现圆形在三维空间沿轴逐渐收缩为点的动画，
展示拓扑学中同伦变换下几何图形的连续变化，辅助理解拓扑性质。
# 创建一个圆形
circle = Circle(radius=2)
self.add(circle)
# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
return (x * (1 - t), y * (1 - t), z)
# 创建Homotopy动画
self.play(
Homotopy(homotopy, circle),
run_time=3,
)
2.3. 向量场强度均匀减弱模拟
通过SmoothedVectorizedHomotopy呈现二维向量场强度随时间均匀减弱，
在物理学电场或磁场教学中，能有效帮助学生理解向量场动态变化。
# 创建一个向量场
vector_field = ArrowVectorField(
lambda pos: (pos[0], pos[1], 0)
)
self.add(vector_field)
# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
return ((1 - t) * x, (1 - t) * y, 0)
# SmoothedVectorizedHomotopy动画
self.play(
SmoothedVectorizedHomotopy(homotopy, vector_field),
run_time=3,
)
3. 附件
文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（homotopy.py），
下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)
4. 补充说明：什么是同伦运算
同伦运算是代数拓扑学中的概念，本质上是在同伦范畴中对映射或空间的操作。
从直观上来说，如果两个连续映射 可以通过连续变形从一个变成另一个，那么这两个映射是同伦的，而对这些同伦的映射进行的各种操作和研究就是同伦运算的范畴。
具体的数学定义这里不赘述，举几个实际生活中可以当做同伦变换的例子来帮助大家理解一下：
- 揉面团：把一块面团从初始的球形揉成各种形状，比如椭圆形、扁平状，甚至可以在面团上捏出一些起伏但不切断面团。这个过程中，面团的形状发生了连续变化，但它始终是一个整体，没有被撕裂或粘连，不同形状之间存在同伦关系。
- 吹气球：从气球未吹气时的扁平状态，到逐渐吹起变成球形的过程，气球的表面在连续地扩张变形。只要气球没有破裂，这个过程就是一个连续的变换。
- 绳结的变换：在不剪断绳子和不使绳子打结部分相互穿越的前提下，绳结可以从一种形状连续地变换为另一种形状。
- 衣服的变形：一件衣服在被人穿着的过程中，随着人的动作，衣服会发生各种变形。比如从平整的挂在衣架上的状态，到穿在人身上随着身体的弯曲、伸展而改变形状。
- 等等... ...
注意，上面的示例可以帮助理解同伦变换，但并不是完全严谨的同伦变换，
比如，面团弄断了，衣服撕裂了等等情况就不是同伦变换，但却是实际生活中经常发生的事。
