图的最小生成树
最小生成树：
限制条件:树的节点个数必须和图中节点个数一样
不能有回路
正好有节点数-1条边
prim算法
辅助数组dist[] parent[]
每次从dist[]中选择最小的一个判断新插入的节点能不能使他的邻接点的dist变小
初始化dist[]为-1
如果已经收录在内的顶点的dist[]为0
如果收入的源点个数小于顶点个数但是已经收录不到最小的dist[]的源点 说明图不连通 无法形成最小生成树
parent[]用来记录当前接待你的父节点是哪个顶点
/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */ Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ) { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */ Vertex MinV, V; WeightType MinDist = INFINITY; for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) { /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */ MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */ MinV = V; /* 更新对应顶点 */ } } if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */ return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */ else return ERROR; /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */ } int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ) { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight; Vertex parent[MaxVertexNum], V, W; int VCount; Edge E; /* 初始化。默认初始点下标是0 */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */ dist[V] = Graph->G[0][V]; parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ } TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ VCount = 0; /* 初始化收录的顶点数 */ /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ MST = CreateGraph(Graph->Nv); E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */ /* 将初始点0收录进MST */ dist[0] = 0; VCount ++; parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */ while (1) { V = FindMinDist( Graph, dist ); /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */ if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */ break; /* 算法结束 */ /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */ E->V1 = parent[V]; E->V2 = V; E->Weight = dist[V]; InsertEdge( MST, E ); TotalWeight += dist[V]; dist[V] = 0; VCount++; for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */ if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */ if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) { /* 若收录V使得dist[W]变小 */ dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */ parent[W] = V; /* 更新树 */ } } } /* while结束*/ if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */ TotalWeight = ERROR; return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ }
Kruskal：
把边都存到一个容器里每次从中选出权值最小的点并且从容器中删除这个最小得边
认为每一个节点都是一个树
每次收入图中边权值最小的
最主要的步骤判断怎么知道当前收入的边能不能构成回路
用并查集没收入一个顶点判断他们的根节点是不是相等如果相等那么能够成回路否则不能构成回路
/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */ /*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/ typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */ typedef Vertex SetName; /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */ typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */ void InitializeVSet( SetType S, int N ) { /* 初始化并查集 */ ElementType X; for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1; } void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 ) { /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */ /* 保证小集合并入大集合 */ if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */ S[Root2] += S[Root1]; /* 集合1并入集合2 */ S[Root1] = Root2; } else { /* 如果集合1比较大 */ S[Root1] += S[Root2]; /* 集合2并入集合1 */ S[Root2] = Root1; } } SetName Find( SetType S, ElementType X ) { /* 默认集合元素全部初始化为-1 */ if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */ return X; else return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */ } bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 ) { /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */ Vertex Root1, Root2; Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */ Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */ if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */ return false; else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */ Union( VSet, Root1, Root2 ); return true; } } /*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/ /*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/ void PercDown( Edge ESet, int p, int N ) { /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p ) */ /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */ int Parent, Child; struct ENode X; X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */ for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) { Child = Parent * 2 + 1; if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) ) Child++; /* Child指向左右子结点的较小者 */ if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */ else /* 下滤X */ ESet[Parent] = ESet[Child]; } ESet[Parent] = X; } void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet ) { /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */ Vertex V; PtrToAdjVNode W; int ECount; /* 将图的边存入数组ESet */ ECount = 0; for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */ ESet[ECount].V1 = V; ESet[ECount].V2 = W->AdjV; ESet[ECount++].Weight = W->Weight; } /* 初始化为最小堆 */ for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- ) PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne ); } int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize ) { /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */ /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */ Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]); /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */ PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 ); return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */ } /*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/ int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST ) { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ WeightType TotalWeight; int ECount, NextEdge; SetType VSet; /* 顶点数组 */ Edge ESet; /* 边数组 */ InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */ ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne ); InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */ /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ MST = CreateGraph(Graph->Nv); TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ ECount = 0; /* 初始化收录的边数 */ NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */ while ( ECount < Graph->Nv-1 ) { /* 当收集的边不足以构成树时 */ NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */ if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */ break; /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */ if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) { /* 将该边插入MST */ InsertEdge( MST, ESet+NextEdge ); TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */ ECount++; /* 生成树中边数加1 */ } } if ( ECount < Graph->Nv-1 ) TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */ return TotalWeight; }
拓扑排序：
队列实现
如果前一个顶点和他的邻接点存在一定的关系的时候那么就要用到拓扑排序
辅助数组Indegree[]入度数组
初始化 遍历图如果有节点与这个几点相连那就让他的Indegree+1;
每次把入度为0的点加入到队列中
回路问题如果弹出的顶点个数和图中顶点个数不一样说明图中有回路
当弹出的时候把他们的邻接点的入度-1
/* 邻接表存储 - 拓扑排序算法 */ bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] ) { /* 对Graph进行拓扑排序, TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标 */ int Indegree[MaxVertexNum], cnt; Vertex V; PtrToAdjVNode W; Queue Q = CreateQueue( Graph->Nv ); /* 初始化Indegree[] */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) Indegree[V] = 0; /* 遍历图，得到Indegree[] */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) for (W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next) Indegree[W->AdjV]++; /* 对有向边<V, W->AdjV>累计终点的入度 */ /* 将所有入度为0的顶点入列 */ for (V=0; V<Graph->Nv; V++) if ( Indegree[V]==0 ) AddQ(Q, V); /* 下面进入拓扑排序 */ cnt = 0; while( !IsEmpty(Q) ){ V = DeleteQ(Q); /* 弹出一个入度为0的顶点 */ TopOrder[cnt++] = V; /* 将之存为结果序列的下一个元素 */ /* 对V的每个邻接点W->AdjV */ for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) if ( --Indegree[W->AdjV] == 0 )/* 若删除V使得W->AdjV入度为0 */ AddQ(Q, W->AdjV); /* 则该顶点入列 */ } /* while结束*/ if ( cnt != Graph->Nv ) return false; /* 说明图中有回路, 返回不成功标志 */ else return true; }
