堆和哈夫曼树

堆分为最小堆和最大堆。最小堆指的是任意一个节点都有小于他的做儿子和右儿子。最大堆指的是任意一个节点大于打的左儿子右儿子。

最大堆的操作（堆得主要操作就是上滤和下滤）

插入：先将一个节点插入到堆得最后的位置然后上滤，如果他的父亲小于他，就把他父亲的值给他，继续循环，当退出循环的时候就是要插入的节点：

删除：删除堆顶元素，然后把最后一个元素拿上来做下滤；如果他的左右儿子中最大的那个大于他就把左右儿子中最大的那个值给堆顶，然后把左右儿子中最大的那个当做父节点继续循环，当循环退出的时候就是要插入的节点。

如何把一个堆调成最大堆：

先找到最后一个元素的的父节点然后做下滤，把这个小树调成最大堆然后依次循环。直至循环退出。

typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
struct HNode {
    ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */
    int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
    int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
};
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */
 
#define MAXDATA 1000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
 
MaxHeap CreateHeap( int MaxSize )
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
 
    MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
    H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));
    H->Size = 0;
    H->Capacity = MaxSize;
    H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
 
    return H;
}
 
bool IsFull( MaxHeap H )
{
    return (H->Size == H->Capacity);
}
 
bool Insert( MaxHeap H, ElementType X )
{ /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
    int i;
  
    if ( IsFull(H) ) { 
        printf("最大堆已满");
        return false;
    }
    i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
    for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )
        H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */
    H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
    return true;
}
 
#define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */
 
bool IsEmpty( MaxHeap H )
{
    return (H->Size == 0);
}
 
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */
    int Parent, Child;
    ElementType MaxItem, X;
 
    if ( IsEmpty(H) ) {
        printf("最大堆已为空");
        return ERROR;
    }
 
    MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
    /* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
    X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
    for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
 
    return MaxItem;
} 
 
/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown( MaxHeap H, int p )
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
    int Parent, Child;
    ElementType X;
 
    X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
    for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
        if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
        else  /* 下滤X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
}
 
void BuildHeap( MaxHeap H )
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  */
  /* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
 
    int i;
 
    /* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */
    for( i = H->Size/2; i>0; i-- )
        PercDown( H, i );
}

哈弗曼树（最优二叉树）：

先把节点按权值大小存入最小堆，然后每次从节点中取出两个最小值并且合并构造哈夫曼树。

typedef struct TreeNode*Tree
struct Tree{
   int weight;
   Tree left;
   Tree right;   
};
//假设有这个堆
Tree BuildTree(Heap H){
     Heap H;
     H=BuildMinHeap(H);//假设有这个方法
  //做H->size-1次循环 每次取出权值最小的两个节点进行合并
  for(int i=1;i<H->size;i++){
    Tree T = (Tree)malloc(sizeof(Tree));
    T->left = delete(H);
    T->right = delete(H);
    T->weight=T->left->weight+T->right->weight;
    Insert(H,T);
}      
return delete(H);
}

typedef struct TreeNode*Tree
struct Tree{
   int weight;
   Tree left;
   Tree right;   
};
//假设有这个堆
Tree BuildTree(Heap H){
     Heap H;
     H=BuildMinHeap(H);//假设有这个方法
  //做H->size-1次循环 每次取出权值最小的两个节点进行合并
  for(int i=1;i<H->size;i++){
    Tree T = (Tree)malloc(sizeof(Tree));
    T->left = delete(H);
    T->right = delete(H);
    T->weight=T->left->weight+T->right->weight;
    Insert(H,T);
}      
return delete(H);
}

具体的实现过程