图论之存图

图论之存图 2023.4.25

概述

• 主要有四种
• 每种都有不同的用途
• 为方便，下文记点集为 \(|V|\), 大小为 \(n\);
• 边集为 \(|E|\), 大小为 \(m\)。

01 直接存边

时间复杂度：

• 遍历（DFS，BFS） \(\Theta(\infin)\)
• 判断是否存在 \(\Theta(m)\)

空间复杂度：

• \(\Theta(m)\)

代码

struct Edge{
    int u,v,w;
    Edge(int a,int b,int c){u=a,v=b,w=c;}
}edge[100010];
int cnt=1;
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[cnt++](u,v,w);
}

优点

• 可能在某些算法里会用到
• 如 Krustal,Bellman-Ford

缺点

• 无法快速的判断是否存在 \((u,v)\) 边
• 无法DFS或BFS（即无法遍历图）

02 邻接矩阵

时间复杂度：

• 遍历（DFS，BFS） \(\Theta(n^2)\)
• 判断是否存在 \(\Theta(1)\)

空间复杂度：

• \(\Theta(n^2)\)

代码

#define inf 0x3f3f3f3f
int d[101][101];
void addedge(int u,int v,int w){
    d[u][v]=w;
}
void dfs(int u,int fa){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(d[u][i]!=inf){
            cout<<u<<"->"<<i<<" Val="<<d[u][i]<<endl;
            if(i!=fa)dfs(i,u);
        }
    }
}

优点

• 适合稠密图
• 可以快速判断一条 \((u,v)\) 边是否存在

缺点

• \(\Theta(n^2)\)还是慢了些
• 不支持重边

03 vector

vector YYDS

时间复杂度：

• 遍历（DFS，BFS） \(\Theta(n+m)\)
• 判断是否存在 \(\Theta(m)\)

空间复杂度：

• \(\Theta(m)\)

代码

struct Edge{
    int v,w;
    Edge(int b,int c){v=b,w=c;}
};
vector<Edge>edge[100010];
void addedge(int u,int v,int w){
    edge[u].push_back(Edge(v,w));
}
void bianli(){//用的循环
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!a[i].empty()){
            for(int j=0;j<a[i].size();j++)cout<<i<<"->"<<a[i][j].to<<" in"<<a[i][j].val<<endl;
            cout<<endl;
        }
        else cout<<i<<endl;
    }
}

优点

• 适合稀疏图
• 时间复杂度优秀
• 好写 （最主要的

缺点

• 无法快速的判断是否存在 \((u,v)\) 边

04 链式前向星（邻接表）

好多种叫法。

时间复杂度：

• 遍历（DFS，BFS） \(\Theta(n+m)\)
• 判断是否存在 \(\Theta(m)\)

空间复杂度：

• \(\Theta(m+n)\)

代码

const int maxn=1001,maxm=100001;
struct Edge{
    int next;//后继结点
    int v;
    int val;
};
Edge edge[maxm*2+5];
int first[maxn];//头指针
int vis[maxn];
int cnt,ans,n,m;
void addedge(int u,int v,int w){
    cnt++;
    edge[cnt].next=first[u];//(1)
    edge[cnt].v=v;
    edge[cnt].val=w;
    first[u]=cnt;//(2)
}

这里其实是和 vector 差不多的链表思路，但是这里使用了定长数组实现。代码中巧妙的地方在于他插入时插入了链表的头部而不是尾部（ (1),(2) 处），避免了遍历整个链表的时间。

优点

• 速度快
• 如果是无向图，则 \(\texttt{这条边的编号}\oplus1=\texttt{这条边的反边编号}\)

缺点

• 还是稍微复杂了点
• 没有 vector 简洁