卡尔曼滤波器--连续变量

一、问题

状态变量和证据变量都是连续型的时候

比如说跟踪一只飞行的小鸟
它的状态用这六个变量来描述
就是x y z的坐标 以及x y z方向的速度
都是连续变量

 

用卡尔曼滤波来处理连续变量

 

二、

用高斯分布来模拟它的先验概率密度

（卡尔曼滤波假设状态的先验分布是高斯分布）

用线性高斯分布来模拟它的转换模型和传感器模型

可以得出任何时候的状态分布都是一个高斯分布

 

t时刻的状态分布：用均值为μt
协方差为σt的一个高斯分布来表示

 

三、预测步骤

根据1~t时刻的证据去预测t+1时刻的状态分布

把σ变成了一个积分号，把t时刻的所有状态可能乘以转换模型

（拆分成t+1时刻的证据和1~t时刻的证据再利用一个贝叶斯公式）

 

更新运算结果就是   新来的一个t+1时刻的证据
来估计t+1时刻的状态
相当于对状态进行了更新

 

 

 四、一维实例

1.

先验分布       一个一维高斯分布它的均值是μ0 方差是σ0平方

转移模型        一个线性高斯分布它的均值是Xt方差是σx平方

观察模型        一个高斯分布它的均值是Xt 方差是σz平方

2.

根据零时刻的状态分布以及转移模型，
可以对1时刻的状态分布进行预测：

解释：

零时刻的状态分布乘以这个转移模型
再对零时刻的状态进行积分

再把两个分布代进来

3.滤波

得到1时刻的证据z1之后
对1时刻的状态分布进行更新（就是滤波）

 

 

对1时刻状态的更新也是一个高斯分布

1时刻的均值μ1
1时刻的方差σ1