最优化 凸集、凸函数

一、凸集

 

定义：给定一个集合C⊆RnC⊆Rn,满足下列条件则称为凸集

 

x,y∈C⇒tx+(1−t)y∈Cx,y∈C⇒tx+(1−t)y∈C 对于任意的 0≤t≤1

 

 

凸集：如果集合A中任意两个元素的连线上的点也在集合内，则为凸集

 

二、凸函数

定义：给定映射f:Rn→Rf:Rn→R 并且 dom(f)⊆Rn(f)⊆Rn为凸集，那么

f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y) 对于任意 0≤t≤10≤t≤1，且 任意x,y∈dom(f)x,y∈dom(f)。

 

凸函数：函数任意两点连线上的值大于对应对应自变量出的函数值，则为凸函数

三、凸优化

凸优化问题有一个重要的结论：凸优化问题的局部最优解，就是全局最优解。