元胞自动机

元胞自动机(cellular automata，CA) 

元胞自动机(cellular automata，CA) 是一种时间、空间、状态都离散，空间相互作用和时间因果关系为局部的网格动力学模型，具有模拟复杂系统时空演化过程的能力。

 

元胞自动机是一类模型的总称，或者说是一个方法框架。其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的。

 

有限自动机

有限自动机是一种控制状态有限、符号集有限的自动机，是一种离散输入输出系统的数学模型。

从数学上来定义，有限自动机是一个五元组:

FA=(Q，S，δ，q₀，F)

    其中，Q是控制器的有限状态集、S是输入符号约有限集、δ是控制状态转移规律的Q×S到Q的映射 (可用状态转移图或状态转移表表示)，q₀是初始状态、F是终止状态集。若δ是单值映射，则称M为确定性有限自动机;若δ是多值映射，则称M为非确定性 有限自动机。

初等元胞自动机

初等元胞自动机（ Elementary Cellular Automata， ECA)的基本要素如下空间：

一维直线上等间距的点。可为某区间上的整数点的集合。

 

 

状态集：S={s1,s2} 即只有两种不同的状态。这两种不同的状态可将其分别编码为0 与 1；若用图形表示，则可对应“黑”与“白” 或者其他两种不同的颜色。

邻居：取邻居半径r=1，即每个元胞最多只有“左邻右舍”两个邻居。

演化规则：任意设定， 最多2^8=256种不同的设定方式。

一维初等元胞自动机 (Elementary Cellular Automata)，它的最大的一个特征在于容易实现元胞自动机动态演化的可视化:

二维显示中，一维显示其空间构形，空间维;另外一维显示其发展演化过程，时间维。

分类

数学家斯蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）将多年来对元胞自动机的研究整理为a new kind of science一书，书中用大量图形详细记录了所有的256组规则和它们可能造成的结果。可以将结果大致分成：

不动点（fixed points）：变化终结于恒定图像

交替态（alternation）：图像出现周期性变化

随机态（randomness）：图像变化近乎随机

复杂态（complexity）：图像存在某种复杂规律。

 

二维元胞自动机:

元胞分布在二维欧几里德平面上规则划分的网格点上，通常为方格划分。以J. H. Conway的"生命游戏"为代表，应用最为广泛。

 

元胞自动机与马尔科夫(链)过程

    马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。
   马尔科夫链与元胞自动机都是时间离散、状态离散的动力学模型，二者在概念上有一定的相通性。尤其是对于随机型的元胞自动机来讲，每个元胞的行为可以视为一个不仅时间上无后效，而且在空间上无外效的马尔科夫链。
    但是，即使是随机型的元胞自动机也与马尔科夫链存在相当大的差别。首先,马尔科夫链没有空间概念，只有一个状态变量;而元胞自动机的状态量则是与空间位置概念紧密相关的;其次，马尔科夫链中的状态转移概率往往是预先设定好的，而随机型元胞自动机中的元胞状态转移概率则是由当前元胞的邻居构型所决定的。

在广义上，凝聚扩散模型可以归为元胞自动机的一个特例。