双线性插值法（bilinear interpolation）

前面讲解了最近邻插值法缩放图像以及不足之处，本篇介绍另外一种插值法，介绍双线性插值法之前先介绍线性插值。

1. 线性插值

　　线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。如图所示现在已知y=f(x)的两个点坐标分别是（x0,y0），(x1,y1)，现在在区间(x0,x1)内给定任意x，如何求y，线性插值法采用图中红点的y值代替f(x)的y值。假设x处的直线上的红点坐标为（x,Y），那么Y约等于y。根据图可以得到公式：

用y0，y1表示得到

公式很好记，将分式看做权重系数。

2. 双线性插值法

　　双线性插值法也叫双线性内插，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。双线性插值作为数值分析中的一种插值算法，广泛应用在信号处理，数字图像和视频处理等方面。

　　如坐标图所示，用横纵坐标代表图像像素的位置，f(x,y)代表该像素点(x,y)的彩色值或灰度值。

　　将图像放大或缩小，目的像素dst对应的原像素src中的坐标转换公式如下,公式很好理解，可参考上一章最近邻插值法。

　　srcX=dstX*(srcWidth/dstWidth)

　　 srcY=dstY*(srcHeight/dstHeight)

　　上式中，dstX与dstY为目标图像的某个像素的横纵坐标，dstWidth与dstHeight为目标图像的长与宽；srcWidth与srcHeight为原图像的宽度与高度。srcX，srcY为目标图像在该点（dstX，dstY）对应的原图像的坐标。

　　现在假设目标图像的像素点(x’，y’)映射到原图像中是(x,y)，也就是图中的P点。设Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2)、Q21 = (x2, y1) 、 Q22 = (x2, y2)，图中Q11,Q12,Q21,Q22分别为距离P点的最近的四个点。分别在X方向进行两次插值，最后在y方向进行插值即可得到目标图像的像素值。公式如下：

先计算X方向（也可以先计算Y方向，再计算X方向）的线性插值：

再在y方向进行线性插值得到f(P)：

经过公式的进一步化简可以得到：

由于是最近的点，所以Q的四个点的坐标之间相差1，故进一步化简为：

现假设x=i+u，y=j+v，i，j为整数，u,v为小数。得到下式：

下面为本人自己设计的例子与具体计算过程：

　　将图像放大两倍（对像素数扩大2倍），以?处的像素为例：

　　右边图中问号的坐标为(5,4)，映射到原图像的像素点的坐标为

　　srcX=dstX*(srcWidth/dstWidth)=5*(4/8)=2.5

　　srcY=dstY*(srcHeight/dstHeight)=4*(4/8)=2

　　(srcX,srcY)=(2+0.5,2+0)，u=0.5，v=0，映射的src坐标及对应的最近的四个Q点下如图所示。若x=i+u,y=j+v。则可以得到红色框的像素及其周围四个Q点(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)，即可以得到？处的像素值。

　　每个像素点的RGB对应如下：

　　204,255,153 153,255,153 102,255,153 0,255,153

　　204,255,102 153,255,102 102,255,102 0,255,0

　　204,255,51 153,255,51 102,255,51 51,204,51

　　204,204,0 153,204,0 102,153,0 0,153,0

　　Q11(2,2)，Q21(2,3)，Q12(3,2)，Q22(3,3)，P(2.5,2)

采用双线性插值法得到红色框处的像素值：

　　R=0.5*102+0.5*51=51+25.5=76.5

　　G=0.5*255+0.5*204=127.5+102=229.5

　　B=0.5*51+0.5*51=25.5+25.5=51

　　由于颜色表示范围为0-255整数,R可以用127代替或128代替,B也是。所以问号处的颜色应该为：

　　然后以同样的方式计算得到所有的像素值，放大后的图像对比如下：

　　当出现i或j为边界坐标时，会出现(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)的点在实际的图中不存在，此时可以用(i,j)、(i-1,j)、(i,j-1)、(i-1,j-1)。如果srcX与srcY是整数，则其中一个点是(i,j)，剩余的3个点其实无所谓，因为u,v为0。f(p)=f(i,j)

3. 代码实现

　　python实现：

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

def bilinear_interpolation(srcimage_vector,dstwidthtimes ,dstheighttimes ):
    print("原始图像",srcimage_vector)
    srcHeight=srcimage_vector.shape[0]
    srcWidth=srcimage_vector.shape[1]
    print("srcHeight",srcHeight)
    print("srcWidth",srcWidth)
    dstWidth, dstHeight=int(dstwidthtimes*srcWidth),int(dstheighttimes*srcHeight)
    # 定义一个三维矩阵存储目标图像，每个像素由RGB三种颜色组成，shape接受一个元组，可以创建多维矩阵
    dstVector = np.zeros(shape=(dstHeight, dstWidth, 3), dtype=int)  # 默认是float64
    # 遍历目标图像的每一个像素
    for dstY in range(0,dstHeight):
        for dstX in range(0,dstWidth):
            Q = [(0, 0)] * 4  # Q11=Q12=Q21=Q22=0
            Qdict = {}
            # 坐标换算
            dstX_srcX = dstX * (srcWidth / dstWidth)  # python中/表示除法,//表示整除
            dstY_srcY = dstY * (srcHeight / dstHeight)
            u = round(dstX_srcX % 1, 2)
            v = round(dstY_srcY % 1, 2)
            if int(dstX_srcX)==srcWidth-1:
                positionX = [int(dstX_srcX)-1, int(dstX_srcX)]  # 左右范围
            else:
                positionX=[int(dstX_srcX),int(dstX_srcX)+1]#左右范围
            if int(dstY_srcY)==srcHeight-1:
                positionY = [int(dstY_srcY)-1, int(dstY_srcY)]  # 上下范围
            else:
                positionY = [int(dstY_srcY), int(dstY_srcY) + 1]  #上下范围
            k=0
            for m in range(0, 2):  # 得到Q的四个点坐标，分别是Q11,Q12,Q21,Q22
                for n in range(0, 2):
                    Q[k] = (positionX[m], positionY[n])
                    Qdict[Q[k]] = srcimage_vector[positionY[n], positionX[m]]
                    k = k + 1
            # 通过四个点计算得到dst的像素值
            dstVector[dstY][dstX] = Qdict[Q[0]] * (1 - u) * (1 - v) + Qdict[Q[1]] * (1 - u) * (v) + Qdict[Q[2]] * (u) * (
                        1 - v) + Qdict[Q[3]] * (u) * (v)
    print(dstVector)
    ax = plt.gca()  # 获取到当前坐标轴信息
    ax.xaxis.set_ticks_position('top')  # 将X坐标轴移到上面
    plt.imshow(dstVector)  # 显示数组
    plt.show()
    plt.imsave('shaungxianxing.jpg', dstVector.astype(np.uint8))  # matplotlib保存图像的时候，只接受浮点数或者unit8的整数类型

if __name__=="__main__":
    # imagePath = r'songshu.jpg'
    imagePath = r'cup.jpg'
    # imagePath = r'aoyunwuhuan.jpg'
    image_vector = plt.imread(imagePath)
    # dstwidth,dstheight用倍数表示，表示是src图像的多少倍
    # dstwidth, dstheight=1.5,1.5
    dstwidth, dstheight=0.2,0.2
    bilinear_interpolation(image_vector,dstwidth,dstheight)

　　C++实现：后面补充。

4.效果

自己制作的奥运五环

原图双线性插值法放大2倍后的图像