美女与硬币问题

问题描述

酒吧里，一个美女问一个绅士要不要与她玩一个游戏，游戏描述如下：两个各持一枚硬币，并各自选择硬币的正反面展示，如果硬币均为正面，绅士获得2美元，如果均为反面，绅士获得1美元，其他情况绅士付给美女2美元。绅士的盈亏状况可以用下表来描述：

	正	反
正	+3	-2
反	-2	+1

如果两人都是随机（1/2的概率）出正反面，根据概率来看他们的期望都是0，也就是不赚不亏，游戏是公平的。但是，如果某个人一直按这个概率出被另一个人发现则会输得很惨，因此这里就存在一个博弈的问题，期望会发生变化。

数学求解

 设绅士以 \(x\) 的概率出正面，则出反面的概率为 \(1-x\)；

 设美女以 \(y\) 的概率出正面，则出反面的概率为 \(1-y\)。

 则绅士收入的数学期望为：

\( E=3xy+1\times (1-x)(1-y) - 2\times [(1-x)y + (1-y)x]=8xy-3x-3y+1\)

令\( E < 0\)，即:

\(E=8xy-3x-3y+1<0\)

整理可得：

\(E=(8x-3)y-3x+1<0\)

讨论：

若\( x = \frac{3}{8}\)，则无论\(y\)为何值都有\(E<0\)；

若\(x > \frac{3}{8}\)，则可得\(y < \frac{3x-1}{8x-3}\)，\( \frac{3x-1}{8x-3}\) 是一个减函数，在\(x=1\)（\(x\)是概率有最大值1）时取最小值 \(\frac{2}{5}\)；

若\(x < \frac{3}{8}\)，则可得\(y > \frac{3x-1}{8x-3}\)，\( \frac{3x-1}{8x-3}\) 是一个减函数，在\(x=0\)（\(x\)是概率有最小值0）时取最大值 \(\frac{1}{3}\)。

综上，无论绅士以何种概率出硬币，美女可以以\(\frac{1}{3}< y < \frac{2}{5}\)的概率出正面获得恒正的收益。