网络流之SAP算法学习
终于决定开始学习网络流了=.=
<<图论算法理论、实践与应用>>那本书讲了很多关于求最大流的算法，然后我就只挑了一种传说中神奇的SAP算法学习。
首先引入几个新名词：
1、距离标号：
所谓距离标号 ，就是某个点到汇点的最少的弧的数量（即边权值为1时某个点到汇点的最短路径长度）。
设点i的标号为level[i]，那么如果将满足level[i]=level[j]+1的弧(i,j)叫做允许弧 ，且增广时只走允许弧。
2、断层（本算法的Gap优化思想）：
gap[i]数组表示距离标号为i的点有多少个，如果到某一点没有符合距离标号的允许弧，那么需要修改距离标号来找到增广路；
如果重标号使得gap数组中原标号数目变为0，则算法结束。
SAP算法框架：
1、初始化；
2、不断沿着可行弧找增广路。可行弧的定义为{( i , j ) , level[i]==level[j]+1};
3、当前节点遍历完以后，为了保证下次再来的时候有路可走，重新标号当前距离，level[i]=min(level[j]+1);
该算法最重要的就是gap常数优化了。
下面对hdu 1532贴上模版：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1532
邻接矩阵：
View Code
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 #define MAXN 222 6 #define inf 100000000+1000 7 int map[MAXN][MAXN];//存图 8 int pre[MAXN];//记录当前点的前驱 9 int level[MAXN];//记录距离标号 10 int gap[MAXN];//gap常数优化 11 int NV,NE; 12 13 //入口参数vs源点，vt汇点 14 int SAP(int vs,int vt){ 15 memset(pre,-1,sizeof(pre)); 16 memset(level,0,sizeof(level)); 17 memset(gap,0,sizeof(gap)); 18 gap[0]=vt; 19 int v,u=pre[vs]=vs,maxflow=0,aug=inf; 20 while(level[vs]<vt){ 21 //寻找可行弧 22 for(v=1;v<=vt;v++){ 23 if(map[u][v]>0&&level[u]==level[v]+1){ 24 break; 25 } 26 } 27 if(v<=vt){ 28 pre[v]=u; 29 u=v; 30 if(v==vt){ 31 aug=inf; 32 //寻找当前找到的一条路径上的最大流 33 for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){ 34 if(aug>map[pre[i]][i])aug=map[pre[i]][i]; 35 } 36 maxflow+=aug; 37 //更新残留网络 38 for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){ 39 map[pre[i]][i]-=aug; 40 map[i][pre[i]]+=aug; 41 } 42 u=vs;//从源点开始继续搜 43 } 44 }else { 45 //找不到可行弧 46 int minlevel=vt; 47 //寻找与当前点相连接的点中最小的距离标号 48 for(v=1;v<=vt;v++){ 49 if(map[u][v]>0&&minlevel>level[v]){ 50 minlevel=level[v]; 51 } 52 } 53 gap[level[u]]--;//(更新gap数组）当前标号的数目减1； 54 if(gap[level[u]]==0)break;//出现断层 55 level[u]=minlevel+1; 56 gap[level[u]]++; 57 u=pre[u]; 58 } 59 } 60 return maxflow; 61 } 62 63 int main(){ 64 int n,m,u,v,cap; 65 while(~scanf("%d%d",&m,&n)){ 66 memset(map,0,sizeof(map)); 67 for(int i=1;i<=m;i++){ 68 scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap); 69 map[u][v]+=cap; 70 } 71 printf("%d\n",SAP(1,n)); 72 } 73 return 0; 74 } 75 76 77 78 79 80 81 82
邻接表：
View Code
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 #define MAXN 444 //邻接表要开边数的2倍 7 8 struct Edge{ 9 int v,cap,next; 10 }edge[MAXN]; 11 int level[MAXN];//标记层次（距离标号） 12 13 //间隙优化，定义gap[i]为标号是i的点的个数 14 //在重标记i时，检查gap[level[i]],若减为0,这算法结束。 15 int gap[MAXN]; 16 17 int pre[MAXN];//前驱 18 int cur[MAXN]; 19 int head[MAXN]; 20 int NV,NE; 21 22 //NE为边数，初始化为0； 23 void Insert(int u,int v,int cap,int cc=0){ 24 edge[NE].cap=cap;edge[NE].v=v; 25 edge[NE].next=head[u];head[u]=NE++; 26 27 edge[NE].cap=cc;edge[NE].v=u; 28 edge[NE].next=head[v];head[v]=NE++; 29 } 30 31 32 //参数，源点，汇点 33 int SAP(int vs,int vt){ 34 memset(level,0,sizeof(level)); 35 memset(pre,-1,sizeof(pre)); 36 memset(gap,0,sizeof(gap)); 37 //cur[i]保存的是当前弧 38 for(int i=0;i<=NV;i++)cur[i]=head[i]; 39 int u=pre[vs]=vs;//源点的pre还是其本身 40 int maxflow=0,aug=-1; 41 gap[0]=NV; 42 while(level[vs]<NV){ 43 loop : 44 for(int &i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next){ 45 int v=edge[i].v;//v是u的后继 46 //寻找可行弧 47 if(edge[i].cap&&level[u]==level[v]+1){ 48 //aug表示增广路的可改进量 49 aug==-1?(aug=edge[i].cap):(aug=min(aug,edge[i].cap)); 50 pre[v]=u; 51 u=v; 52 //如果找到一条增广路 53 if(v==vt){ 54 maxflow+=aug;//更新最大流； 55 //路径回溯更新残留网络 56 for(u=pre[v];v!=vs;v=u,u=pre[u]){ 57 //前向弧容量减少，反向弧容量增加 58 edge[cur[u]].cap-=aug; 59 edge[cur[u]^1].cap+=aug; 60 } 61 aug=-1; 62 } 63 goto loop; 64 } 65 } 66 int minlevel=NV; 67 //寻找与当前点相连接的点中最小的距离标号（重标号） 68 for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ 69 int v=edge[i].v; 70 if(edge[i].cap&&minlevel>level[v]){ 71 cur[u]=i;//保存弧 72 minlevel=level[v]; 73 } 74 } 75 if((--gap[level[u]])==0)break;//更新gap数组后如果出现断层，则直接退出。 76 level[u]=minlevel+1;//重标号 77 gap[level[u]]++;//距离标号为level[u]的点的个数+1; 78 u=pre[u];//转当前点的前驱节点继续寻找可行弧 79 } 80 return maxflow; 81 } 82 83 int main(){ 84 int m;//边的条数 85 while(~scanf("%d%d",&m,&NV)){ 86 memset(head,-1,sizeof(head)); 87 NE=0; 88 for(int i=1;i<=m;i++){ 89 int u,v,cap; 90 scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap); 91 Insert(u,v,cap); 92 } 93 printf("%d\n",SAP(1,NV)); 94 } 95 return 0; 96 }
