hdu 2853

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2853

思路：

因为我们要变动最小，所以对在原计划中的边要有一些特殊照顾，使得最优匹配时，尽量优先使用原计划的边，这样变化才能是最小的且不会影响原匹配。

根据这个思想，我们可以把每条边的权值扩大k倍，k要大于n。然后对原计划的边都+1。精华全在这里。我们来详细说明一下。

全部边都扩大了k倍，而且k比n大，这样，我们求出的最优匹配就是k倍的最大权值，只要除以k就可以得到最大权值。实现原计划的边加1，这样，在每次选择边时，这些变就 有了优势，就会优先选择这些边。假如原计划的h条边被选入了最优匹配中，这样，最优权值就是k倍的最大权值+k（原计划的每条边都+1）。但是k大于n的用意何在呢？我们发现假如原计划的边全部在匹配中，只会增加n，又n<k,所以除以k后不会影响最优匹配的最大权值之和，然后我们对k取余，就正好得到加入的原计划的边的个数。这时，我们只需要用总点数-加入的原计划的点数，就可以求得最小变动数了。

#include<iostream>
const int MAXN=57;
const int inf=10000000;
using namespace std;
int n,m;
int map[MAXN][MAXN];
int match[MAXN];
int lx[MAXN],ly[MAXN];
bool visitx[MAXN],visity[MAXN];

//匈牙利算法
int Hungary(int u){
    visitx[u]=true;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!visity[i]&&lx[u]+ly[i]==map[u][i]){
            visity[i]=true;
            if(match[i]==-1||Hungary(match[i])){
                match[i]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;//没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符）
}


void KM_prefect_match(){
    int tmp;
    memset(lx,0,sizeof(lx));//初始化顶标
    memset(ly,0,sizeof(ly));//ly[i]为0
    //lx[i]为权值最大边
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            lx[i]=max(lx[i],map[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(1){
            memset(visitx,false,sizeof(visitx));
            memset(visity,false,sizeof(visity));
            if(Hungary(i))//匹配成功
                break;
            else {
                tmp=inf;
                for(int j=1;j<=n;j++)if(visitx[j]){     //x在交错树中
                    for(int k=1;k<=m;k++){       //y在交错树外      
                        if(!visity[k]&&tmp>lx[j]+ly[k]-map[j][k]){
                            tmp=lx[j]+ly[k]-map[j][k];
                        }
                    }
                }
                //更新顶标
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    if(visitx[j])
                        lx[j]-=tmp;
                }
                for(int k=1;k<=m;k++){
                    if(visity[k])
                        ly[k]+=tmp;
                }
            }
        }
    }
}


int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        int ans=0,res=0;
        memset(match,-1,sizeof(match));
        memset(map,0,sizeof(map));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                scanf("%d",&map[i][j]);
                map[i][j]*=(n+1);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int x;
            scanf("%d",&x);
            res+=map[i][x];
            map[i][x]+=1;
        }
        KM_prefect_match();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            ans+=map[match[i]][i];
        }
        printf("%d %d\n",n-ans%(n+1),ans/(n+1)-res/(n+1));
    }
    return 0;
}

 

【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；

下面分析整个算法的时间复杂度：每次修改后，图中至少会增加一条可行边，故最多增广M次、修改M次就可以找到仅由可行边组成的完全匹配（除非图中不存在完全匹配，这个可以通过预处理得到），故整个算法的时间复杂度为O(M * (N + 一次修改点标的时间))。而一次修改点标的时间取决于计算d值的时间，如果暴力枚举计算，这一步的时间为O(M)，优化：可以对每个Y方点设立一个slk值，表示在DFS增广过程中，所有搜到的与该Y方点关联的边的(lx+ly-W)的最小值（这样的边的X方点必然在增广轨中）。每次DFS增广前，将所有Y方点的slk值设为+∞，若增广失败，则取所有不在增广轨中的Y方点的slk值的最小值为d值。这样一次修改点标的时间降为O(N)，总时间复杂度降为O(NM)。

需要注意的一点是，在增广过程中需要记下每个X、Y方点是否被遍历到，即fx[i]、fy[j]。因此，在每次增广前（不是对每个X方点增广前）就要将所有fx和fy值清空。