hdu 1028

 

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生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数,看到最多的是这样两句话:

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

 

例子:

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚,问能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?

下面是用母函数解决这个问题的思路:

首先,我们用X表示砝码,X的指数表示砝码的重量。那么,如果用函数表示每个砝码可以称的重量,

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示,

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示,

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘,可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘,得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘,最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量,所以,在相乘时,根据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是所有的方案。而且,每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是,如果有2个1克的砝码,应该用X^0 + X^1 + X^2表示,而不是X^0 + 2*X^1。

 

母函数还可以解决其他问题,比如,整数划分。

整数划分是个很经典的问题,划分规则就不再细述,直接说思路。与上面的问题相比,每种砝码的个数不再是1个,而是无限个。于是,

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示,

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示,

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示,

依次类推。

相乘后求出X^n的系数,就是结果。

 

总而言之,解决此类问题,只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组,c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数,c2[ ]保存每次计算时的临时结果,当每次计算完毕后,把它赋给c1,然后c2清零。

计算的时候,开3层for循环。最外层,记录它正在与第几个多项式相乘。第二层,表示c1中的每一项,第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

hdu 1028 整数分解:

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int lmax=40007;
int c1[lmax],c2[lmax];
//G(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+...)+..
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            c1[i]=1;//用来保存当前得到的多项式的各项系数
            c2[i]=0;//用来保存每次计算时的临时结果
        }
        for(int i=2;i<=n;i++)//记录c1正在与第几个多项式进行运算
        {
            for(int j=0;j<=n;j++)//c1中的每一项前的系数
            {
                for(int k=0;k+j<=n;k+=i)//表示被乘多项式的每一项的系数
                {
                    c2[k+j]+=c1[j];//每计算一次并把它赋给用于临时保存数据的c2
                }
            }
            for(int j=0;j<=n;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];//每次计算完毕后,就把它赋给c1
                c2[j]=0;//然后c2清零
            }
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    }
}

以下是不同情况下的变化了:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

直接贴代码了:

 1  #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3  
 4 int c1[10000], c2[10000];
 5 int num[4];
 6 int main()
 7 {
 8     int nNum;
 9     while(scanf("%d %d %d", &num[1], &num[2], &num[3]) && (num[1]||num[2]||num[3]))
10     {
11         int _max = num[1]*1+num[2]*2+num[3]*5;
12         // 初始化
13         for(int i=0; i<=_max; ++i)
14         {
15             c1[i] = 0;
16             c2[i] = 0;
17         }
18         for(int i=0; i<=num[1]; ++i)     
19             c1[i] = 1;
20         for(int i=0; i<=num[1]; ++i)
21             for(int j=0; j<=num[2]*2; j+=2) 
22                 c2[j+i] += c1[i];
23         for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1; ++i)   
24         {
25             c1[i] = c2[i];
26             c2[i] = 0;
27         }
28  
29         for(int i=0; i<=num[1]*1+num[2]*2; ++i)
30             for(int j=0; j<=num[3]*5; j+=5)
31                 c2[j+i] += c1[i];
32         for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1+num[3]*5; ++i)    //看到变化了吗
33         {
34             c1[i] = c2[i];
35             c2[i] = 0;
36         }
37         int i;
38  
39         for(i=0; i<=_max; ++i)
40             if(c1[i] == 0)
41             {
42                 printf("%d\n", i);
43                 break;
44             }
45         if(i == _max+1)
46             printf("%d\n", i);
47     }
48     return 0;
49 }

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

找单词:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int c1[51],c2[51];
 6 int a[27];
 7 int main()
 8 {
 9     int N;
10     cin>>N;
11     while(N--)
12     {
13         int i,j,k;
14         for(i=1;i<=26;i++)
15         {
16             cin>>a[i];
17         }
18         memset(c1,0,sizeof(c1));
19         memset(c2,0,sizeof(c2));
20         c1[0]=1;//相当于用x^0去乘后面的多项式
21         for(i=1;i<=26;i++)//要乘以26个多项式
22         {
23             for(j=0;j<=50;j++)//c1的各项指数
24             {
25                 for(k=0;j+i*k<=50&&k<=a[i];k++)//k*i表示被乘多项式各项的指数(x^(0*i)+x^(1*i)+x^(2*i)+...)
26                 {                                                              //指数相加得j+k*i,加多少只取决于c1[j]的系数,因为被乘多项式的各项系数均1
27                     c2[j+i*k]+=c1[j];
28                 }
29             }
30             for(j=0;j<=50;j++)
31             {
32                 c1[j]=c2[j];
33                 c2[j]=0;
34             }
35         }
36         int sum=0;
37         for(i=1;i<=50;i++)sum+=c1[i];
38         cout<<sum<<endl;
39     }
40     return 0;
41 }

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

Big Event in HDU:

(完全是按照上面的模板来写的):

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int value[77],num[77];
 6 int c1[777777],c2[777777];
 7 int main()
 8 {
 9     int n;
10     int i,j,k;
11     while(cin>>n&&n>=0)
12     {
13         int sum=0;
14         for( i=1;i<=n;i++)
15         {
16             cin>>value[i]>>num[i];
17             sum+=value[i]*num[i];
18         }
19         memset(c1,0,sum*(sizeof(c1[1])));
20         memset(c2,0,sum*(sizeof(c2[1])));
21         c1[0]=1;
22         for(i=1;i<=n;i++)
23         {
24             for(j=0;j<=sum;j++)
25             {
26                 for(k=0;j+k*value[i]<=sum&&k<=num[i];k++)
27                 {
28                     c2[j+k*value[i]]+=c1[j];
29                 }
30             }
31             for(j=0;j<=sum;j++)
32             {
33                 c1[j]=c2[j];
34                 c2[j]=0;
35             }
36         }
37         for(i=sum/2;i>=0;i--)
38         {
39             if(c1[i]!=0)break;
40         }
41         cout<<sum-i<<' '<<i<<endl;
42     }
43     return 0;
44 }

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152

水果问题:

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 using namespace std;
 5 int c1[117],c2[117];
 6 int a[117],b[117];
 7 int main()
 8 {
 9     int n,m;
10     int i,j,k;
11     while(cin>>n>>m)
12     {
13         for(i=0;i<n;i++)
14         {
15             cin>>a[i]>>b[i];
16         }
17         memset(c1,0,sizeof(c1));
18         memset(c2,0,sizeof(c2));
19         for(i=a[0];i<=b[0];i++)c1[i]=1;
20         for(i=1;i<n;i++)
21         {
22             for(j=0;j<=m;j++)
23             {
24                 for(k=a[i];k+j<=m&&k<=b[i];k++)//由题目要求进行限制,最关键的一步
25                 {
26                     c2[k+j]+=c1[j];
27                 }
28             }
29             for(j=0;j<=m;j++)
30             {
31                 c1[j]=c2[j];
32                 c2[j]=0;
33             }
34         }
35         cout<<c1[m]<<endl;
36     }
37     return 0;
38 }

举了这么多例子,无非是想说母函数的应用变化多端,但只要掌握了其原理,再根据模板进行修改,就行了,come on!!!

posted @ 2012-07-13 21:56  ihge2k  阅读(2790)  评论(1编辑  收藏  举报