【题解】洛谷 P7468 [NOI Online 2021 提高组] 愤怒的小N【自然数幂和 结论题】

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题意

定义串 \(A_0=\texttt{a}\)，\(A_i=A_{i-1}+\overline{A_{i-1}}\)（其中上划线代表 a b 互换），考虑串 \(A_\infty[0..n-1]\)。给定 \(k-1\) 次多项式 \(f\)，求 \(\sum_{i=0}^{n-1}[A_\infty[i]=\texttt{b}]f(i)\)。\(n\leq 2^{500000}\)，\(k\leq 500\)。

题解

我们首先考虑 \(O(k^2\log n)\) 的做法：我们维护多项式 \(F_{i,\texttt{a}/\texttt{b}}(x)\) 代表把字符串 \(A_i\) 平移到 \(x\) 处后，\(\texttt{a}/\texttt{b}\) 的贡献。

我们有 \(F_{i,\texttt{a}}(x)=F_{i-1,\texttt{a}}(x)+F_{i-1,\texttt{b}}(x+2^{i-1})\)（\(F_{i,\texttt{b}}\) 同理），处理系数平移需要 \(O(k^2)\)（二项式定理展开），一共要递推到 \(F_{\log n,\texttt{a}/\texttt{b}}\)。

如果你在调试时输出了多项式，你可能会发现在 \(i\geq k\) 时，\(F_{i,\texttt{a}}=F_{i,\texttt{b}}\)。证明可以参见官方题解。（考试时我输出了调试信息，但是没发现结论）

知道这个结论后，我们可以只处理到 \(F_{k-1,\texttt{a}/\texttt{b}}\)，剩下的部分借助自然数幂和计算。复杂度 \(O(k^3+\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getint(){
    int ans=0;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c)){
        ans=ans*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ans;
}
const int K=503,N=500010,mod=1e9+7;
int f[2][K],g[2][K];
int c[K][K];
char s[N];int n;

int p2[N];
int p[N],q[N];

int sp[N];
int qpow(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=ans*1ll*x%mod;
        x=x*1ll*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    freopen("angry.in","r",stdin);
    freopen("angry.out","w",stdout);
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    int k=getint();
    if(n<k){
        for(int i=n;i;i--)s[k-n+i]=s[i];
        for(int i=1;i<=k-n;i++)s[i]='0';
        n=k;
    }
    for(int i=0;i<k;i++)f[0][i]=getint();
    for(int i=c[0][0]=1;i<=k;i++)
        for(int j=c[i][0]=1;j<=k;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    p2[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)p2[i]=p2[i-1]<<1,p2[i]>=mod&&(p2[i]-=mod);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q[n-i]=q[n-i+1]^(s[i]-'0');
        p[n-i]=(p[n-i+1]+(s[i]-'0')*p2[n-i])%mod;
    }

    int ans=0;

    int m=p[0];
    // cerr<<"> "<<m<<endl;
    sp[0]=m;
    for(int i=1;i<k;i++){
        sp[i]=qpow(m,i+1);
        for(int j=0;j<i;j++)
            sp[i]=(sp[i]-c[i+1][j]*1ll*sp[j]%mod+mod)%mod;
        sp[i]=sp[i]*1ll*qpow(i+1,mod-2)%mod;
        // cerr<<"> "<<sp[i]<<endl;
    }
    for(int i=0;i<k;i++)ans=(ans+f[0][i]*1ll*sp[i])%mod;

    for(int i=0;i<k;i++){
        // for(int i=0;i<k;i++)cerr<<">"<<f[0][i];cerr<<endl;
        // for(int i=0;i<k;i++)cerr<<">"<<f[1][i];cerr<<endl;cerr<<endl;
        int q=::q[i],p=::p[i+1];
        if(s[n-i]-'0'){
            int v=0;
            for(int j=0;j<k;j++)
                v=(v*1ll*p+f[q][k-j-1])%mod;
            ans=(ans+v)%mod;
            v=0;
            for(int j=0;j<k;j++)
                v=(v*1ll*p+f[q^1][k-j-1])%mod;
            ans=(ans+mod-v)%mod;
        }

        memcpy(g,f,sizeof(g));
        int e=p2[i];
        for(int j=0;j<k;j++){
            int pe=1;
            for(int l=j;l>=0;l--,pe=pe*1ll*e%mod){
                int t=pe*1ll*c[j][l]%mod;
                g[1][l]=(g[1][l]+f[0][j]*1ll*t)%mod;
                g[0][l]=(g[0][l]+f[1][j]*1ll*t)%mod;
            }
        }
        memcpy(f,g,sizeof(f));
    }

    ans=(mod+1ll)/2*ans%mod;

    cout<<ans;
}