人类早期驯服拟阵珍贵影像
仅以图拟阵为例作感性理解，十分意识流且不严谨，仅作个人记录。建议学习论文。
记 \(M=(S,\mathcal I)\) 表示定义在有限集 \(S\) 上，独立集的集合为 \(\mathcal{I}\) 的拟阵，a 其中 \(\mathcal{I}\subseteq 2^S\)，即 \(\mathcal{I}\) 是由一些 \(S\) 的子集组成的集合 >
对于图拟阵，\(S\) 即一张图的边集，\(\mathcal{I}\) 中的元素为所有无环的边集。
< 拟阵 \(M\) 需要满足以下公理。
- 如果 \(I\in \mathcal{I},J\subseteq I\)，则 \(J\in \mathcal{I}\)（遗传性公理）
对于图拟阵，一个无环边集的子集仍然无环。
- 如果 \(I,J\in \mathcal{I},|J|>|I|\)，则 \(\exist z\in J\setminus I\) 满足 \(I\cup z\in \mathcal{I}\)（交换性公理/选择性公理）
对于图拟阵，\(J\) 的连通块数更少，其中一定有一条边连接 \(I\) 的某两个连通块，可以将这条边加入 \(I\) 中，\(I\) 依然无环
若 \(I\in\mathcal{I}\) 加入任意一个属于 \(S\setminus I\) 的元素都会变成一个非独立集，则称 \(I\) 为拟阵的一个基。
对于图拟阵，基即一个极大生成森林。特别的，若图连通，基是一个生成树。
若非独立集 \(I'\) 去掉任意一个元素都是独立集，则称 \(I'\) 是一个环。
对于图拟阵，环即一个环。
对于任意拟阵 \(M\)，所有基的大小相同。
要不然根据选择性公理，小的基可以变大
无向连通图的生成树都一样大
若有两个不同的基 \(A,B\)，则对于任意 \(z\in A\setminus B\)，都有 \(y\in B\setminus A\)，满足 \(A-\{z\}+\{y\}\in\mathcal{I}\)
选择性公理即可
无向连通图的一棵生成树可以换一条边变成另一棵生成树
令 \(C(M)\) 表示拟阵 \(M\) 的所有环。
若 \(X,Y\in C(M),X\subseteq Y\)，则 \(X=Y\)。
去掉一个元素就不是环了
若 \(X,Y\in C(M),e\in X\cap Y,X\neq Y\)，则 \(\exist C\in C(M)\) 满足 \(C\subseteq X\cup Y-\{e\}\)。
\(I\in\mathcal{I},e\notin I\)，则 \(I+e\) 包含一个唯一的环
结合图拟阵容易理解
定义拟阵的轶为拟阵的基的元素个数。
对于 \(U\subseteq S\) 定义轶函数 \(r(U)\) 表示 \(U\) 中极大独立集的大小。
- 有界性：\(\forall U\subseteq S,0\leq r(U)\leq |U|\)；
- 单调性：\(\forall A\subseteq B\subseteq S,r(A)\leq r(B)\)；
- 次模性：\(\forall A,B\subseteq S,r(A\cup B)+r(A\cap B)\leq r(A)+r(B)\)
若先定义符合要求的轶函数，便能直接以此定义拟阵：\(M=(S,\mathcal{I},\mathcal{I}=\{I\mid r(I)=|I|\})\)。
拟阵上的最优化：直接贪心加入，能加就加。
对偶拟阵：对于 \(M=(S,\mathcal{I})\)，定义 \(M\) 的对偶拟阵 \(M*=(S,\mathcal{I}^*)\)，其中 \(\mathcal{I}^*=\{I\mid \exist B\subseteq S\setminus I,B\text{ 为 }M\text{ 中的基}\}\)
对于无向连通图拟阵，其对偶拟阵是所有边集满足：去掉这些边图仍然连通。
从拟阵 \(M\) 中删除子集 \(Z\) 得到拟阵 \(M\backslash Z=\{S\setminus Z,\mathcal{I}'\}\)，\(\mathcal{I'}=\{I\mid I\subseteq S\setminus Z,I\in \mathcal{I}\}\)。
即不考虑 \(Z\) 中元素得到的拟阵
从拟阵 \(M\) 中收缩子集 \(Z\) 得到拟阵 \(M /Z=(M^*\backslash Z)^*\)
即强制选取 \(Z\) 中的元素，新的独立集要求并上 \(Z\) 仍然是独立的。可以对应到图拟阵中的缩边操作。
\(M\) 经过一系列删除与收缩操作得到的拟阵 \(M'\) 称为 \(M\) 的极小元。
给定拟阵 \(M_1=(S,\mathcal{I}_1)\)，\(M_2=(S,\mathcal{I}_2)\)，定义 \(M_1,M_2\) 的交为所有的集合 \(I\in \mathcal{I}_1\cap\mathcal{I}_2\)
拟阵交问题即求同时属于两个拟阵的独立集中最大的独立集。
以 \(S\) 的每个元素为点，当前独立集为 \(I\)，边 \(u\in I\to v\in S\setminus I\) 存在当且仅当 \(I-\{u\}+\{v\}\in \mathcal{I}_1\)，边 \(v\in S\setminus I\to u\in I\) 存在当且仅当 \(I-\{u\}+\{v\}\in \mathcal{I}_2\)。求一条 \(\forall u:u\notin I,I+\{u\}\in \mathcal{I}_1\) 到 \(\forall v:v\notin I,I+\{v\}\in \mathcal{I}_2\) 的最短路，将路上元素全部反转，重新建图，直到找不到最短路。
带权拟阵交：定义点权，按照点权第一，长度第二找最短路。
多个拟阵交不可做。
