组合意义证明——「Zeilberger 老爷子的 T 恤上写了啥？」

\[\sum_k\dbinom{n}{k}^2\dbinom{3n+k}{2n}=\dbinom{3n}{n}^2 \]

EI 的生成函数证明

先为左侧赋予一个组合意义：枚举 \(k\)，考虑有 \(3n+k\) 个球排成一排：

• 在其中选出 \(2n\) 个准备染色，靠左的 \(n\) 个染为浅色，靠右的 \(n\) 个染为深色；
• 靠左的 \(n\) 个中取 \(k\) 个染为浅蓝色，其余为浅绿色；
• 靠右的 \(n\) 个中取 \(n-k\) 个染为深蓝色，其余为深绿色。

下面是右侧的组合意义：

• 先将 \(3n\) 个白色球排成一行，将其中 \(n\) 个染为蓝色，稍后决定深浅；
• 再生成一个长为 \(3n\) 的 01 序列，其中有 \(n\) 个 1；
• 显然上面两步的方案数就是 \(\dbinom{3n}{n}^2\)；
• 拿两个指针，p 指向那行球中的白色球，q 指向 01 序列中的数，两个指针从头开始同步地扫过去；
• q 遇到 1 就把 p 指向的白色球染为浅绿色，直到 p 之前有 \(n\) 个有颜色的球；此时有：
  • \(k\) 确定了下来：p 前有 \(k\) 个浅蓝色球，\(n-k\) 个浅绿色球，这样得到第一段球；
  • 设 p 之后还有 \(l\) 个球，则 q 之后还剩 \(l+k\) 个数，其中 \(k\) 个为 1；
• 将 p 之后的球放到 q 之后的 0 的位置，1 的位置放深绿色球，这样得到第二段球；
• 两段球接起来便是符合左侧组合意义的一排球。

e.g.（b, B, g, G, x 分别代表浅蓝色、深蓝色、浅绿色、深绿色、白色）

n=3

xxbxbxbxx
p
011001000
q

xrbxbxbxx
 p
011001000
 q

xgbgbxbxx
   p
011001000
  q

xgbg  BxGBxx
   p
011   001000
  q