【题解】[LOJ #2985 / 洛谷 P5208]「WC2019」 I 君的商店【二分】
题意
有一 01 序列,已知其 1 的个数的奇偶性。你一次询问可以给出两个下标集合 \(S,T\)(同一集合内部元素不能重复),花费 \(|S|+|T|\),若 \(S\) 对应位置的和大于 \(T\),交互库返回 \(0\);若小于,返回 \(1\);若等于,返回 \(0\) 或 \(1\)。用至多 \(5n+3\log n+O(1)\) 的代价确定序列。
题解
操作 1:任选 \(a,x,y\),确定一些信息:
- 询问 \(\{x\},\{y\}\),假设 \(x\leq y\);
- 询问 \(\{x,y\},\{a\}\):
- \(\{x,y\}\leq\{a\}\):\(x=0\);
- \(\{x,y\}\geq\{a\}\):\(y\geq a\),依靠这些信息得到一条单调不减的链;
这样会剩下一个数既没有确定是 \(0\),又不在链上。\(5n+O(1)\) 的代价。
操作 2:已知一条长为 \(m\) 的单调不减的链,二分确定其 \(m-1\) 个值:
- 二分第一次出现 \(\{c_i,c_{i+1}\}\geq 1\) 的位置;
- 有可能 \(c_i=0,c_{i+1}=1\) 或 \(c_i=1,c_{i+1}=1\);在前面的数都为 \(0\),后面的数都为 \(1\),\(c_i\) 不确定。
这样会只剩两个位置不确定。\(3\log n+O(1)\) 的代价。
操作 3:已知 \(x\oplus y\),有一个 \(1\),\(O(1)\) 得到 \(x,y\):
- 若 \(x\oplus y=0\),询问 \(\{x,y\},\{1\}\);
- 若 \(x\oplus y=1\),询问 \(\{x\},\{y\}\)。
于是问题解决。
总代价 \(5n+3\log n+O(1)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#include "shop.h"
using namespace std;
namespace Wallbreaker5th{
stack<int>unknown;
vector<int>v;
bool query(vector<int>s,vector<int>t){
return ::query(s.data(),s.size(),t.data(),t.size());
}
vector<int>getchain(int n){
vector<int>c;
int b=unknown.top();
c.push_back(b);
unknown.pop();
while(unknown.size()>=2){
int x=unknown.top();unknown.pop();
int y=unknown.top();unknown.pop();
int a=c.back();
if(query({y},{x}))swap(x,y);
if(query({x,y},{a})){
v[x]=0;
unknown.push(y);
}else{
c.push_back(y);
unknown.push(x);
}
}
return c;
}
void bs(int n,int k,vector<int>c){
int m=c.size();
int one=c[m-1];
int l=0,r=m-2,ans=m-1;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(query({one},{c[mid],c[mid+1]}))ans=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
for(int i=0;i<ans;i++)v[c[i]]=0;
for(int i=ans+1;i<m;i++)v[c[i]]=1;
for(int i=0;i<n;i++)if(~v[i])k^=v[i];
if(unknown.size()){
int t=unknown.top(),r=c[ans];
if(k)
v[t]=!(v[r]=query({t},{r}));
else
v[t]=v[r]=query({one},{t,r});
}else v[c[ans]]=k;
}
}
void find_price(int task_id, int n, int k, int ans[]){
using namespace Wallbreaker5th;
if(n==1){
ans[0]=1;
return;
}
if(n==2){
if(!k)ans[0]=ans[1]=1;
else ans[1-query({0},{1})]=1;
return;
}
v=vector<int>(n,-1);
while(unknown.size())unknown.pop();
if(task_id==3){
vector<int>c;
for(int i=0;i<n;i++)c.push_back(i);
if(query({n-1},{0}))reverse(c.begin(),c.end());
bs(n,k,c);
for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=v[i];
return;
}
for(int i=0;i<n;i++)unknown.push(i),ans[i]=0;
vector<int>c=getchain(n);
bs(n,k,c);
for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=v[i];
}