【题解】[UOJ 62] UR #5 怎样跑得更快【莫比乌斯反演】
题意
给定 \(n,c,d,q\)，\(q\) 次给定 \(b_1,\dots b_n\)，解方程组：
\[\sum_{j = 1}^{n} \gcd(i, j)^c \cdot \operatorname{lcm}(i, j)^d \cdot x_j \equiv b_i \pmod{p}
\]
\(n\leq 3\times 10^5\)，\(q\leq 3\)。
题解
\(\operatorname{lcm}(x,y)=\dfrac{xy}{\gcd(x,y)}\)
原式相当于是
\[\sum_{j = 1}^{n} f(\gcd(i,j))g(i)h(j) x_i\equiv b_i \pmod{p}
\]
稍微化一下：
\[\sum_{j = 1}^{n} f(\gcd(i,j))x'_j\equiv b'_i \pmod{p}
\]
\[\sum_{j = 1}^{n} \sum_{d|i,d|j} (f*\mu)(d)x'_j\equiv b'_i \pmod{p}
\]
\[\sum_{d|i} (f*\mu)(d) \sum_{j=1}^{n} [d|j]x'_j\equiv b'_i \pmod{p}
\]
令 \(z(d)=\sum_{j=1}^{n} [d|j]x'_j\)。
\[\sum_{d|i} (f*\mu\cdot z)(d)\equiv b'_i \pmod{p}
\]
\[((f*\mu\cdot z)*1)(i)\equiv b'_i \pmod{p}
\]
\[(f*\mu\cdot z)\equiv b'*\mu \pmod{p}
\]
\[z\equiv \dfrac{b'*\mu}{f*\mu} \pmod{p}
\]
求出 \(z\) 后再莫反得 \(x_i\)，一共 3 个莫反。\(b'*\mu\) 和 \(f*\mu\) 点除时可能有无解或多解。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int qpow(int x,int y){
int ans=1;
while(y){
if(y&1)ans=ans*1ll*x%mod;
x=x*1ll*x%mod;
y>>=1;
}
return ans;
}
const int N=1e5+10;
int b[N],x[N],n,c,d,q;
int ipw[N];
int f[N],i_f[N],fz[N],z[N];
int main(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&c,&d,&q);
c%=mod-1;d%=mod-1;
for(int i=1;i<=n;i++)ipw[i]=qpow(i,mod-1-d);
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=qpow(i,mod-1+c-d);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
f[j]=(f[j]+mod-f[i])%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)i_f[i]=qpow(f[i],mod-2);
while(q--){
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",b+i);
for(int i=1;i<=n;i++)fz[i]=b[i]*1ll*ipw[i]%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
fz[j]=(fz[j]+mod-fz[i])%mod;
bool ok=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!f[i]){
if(fz[i]){
ok=0;
break;
}else x[i]=0;
}else x[i]=fz[i]*1ll*i_f[i]%mod;
}
if(!ok){
puts("-1");
continue;
}
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
x[i]=(x[i]+mod-x[j])%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=x[i]*1ll*ipw[i]%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",x[i]);printf("\n");
}
}
