通过 n 次多项式 f 在 0,1,...n 处的值，线性求 f(x)

已知不高于 \(n\) 次的多项式 \(f(0),f(1),\cdots,f(n)\) 的值，求 \(f(x)\)。

\[\begin{aligned} f(x) &= \sum_{i=0}^m \dbinom x i \Delta^if(0)\\ &= \sum_{i=0}^n \dbinom x i \sum_{j=0}^i f(j)\dbinom ij (-1)^{i-j}\\ &= \sum_{j=0}^n f(j) \sum_{i=j}^n \dbinom x i \dbinom i j (-1)^{i-j}\\ &= \sum_{j=0}^n f(j) \sum_{i=j}^n \dbinom x j \dbinom{x-j}{i-j}(-1)^{i-j}\\ &= \sum_{j=0}^n f(j) \dbinom x j \sum_{i=0}^{n-j} \dbinom{x-j}{i}(-1)^i\\ &= \sum_{j=0}^n f(j) \dbinom x j \dbinom{x-j-1}{n-j}(-1)^{n-j} \end{aligned}\]