分析一道08年10月12日的江苏省程序设计大赛正赛题

今年是我第一次参加省级的比赛，发来的通知上说是ACM ICPC江苏省区比赛，但是去了那边变成了大学生程序设计大赛，去掉一个I的差别可很大。不过虽然不是International，不过难度也不少。今天就先分析其中一道题目：

题目是英文的，这里我就把翻译好的给大家，翻译不好还请见谅

给出一个正整数n(1<=n<=2001)。在n的左边可以放置另外一个数m，这样就组成一个新数mn，其中m必须小于等于n的一半。如果还有一个整数k<=m/2，那么还可以继续组成一个新数kmn....

比如有一个数12，你就可以在这个数左边放1～6，组成112，212.....612，接下来212又可以继续分成1212。

在举一个例子n=8

第一轮产生：18，28，38，48

第二轮18：不能产生新数

第三轮28：128

第四轮38：138

第五轮48：148，248

第六轮128、138、148：不能产生新数

第七轮248：1248

第八轮1248：不能产生新数

Input:

输入一个数n

Output：

一共产生了多少数

 Input:

8

Output:

10

这道题目这一看之下有点像一个多叉树，第一次我想了一下，发现可以用递归做。因为我们可以看到当n=8时有4个新数，n=4时有2个新数，n=2时有一个新数，n=1时没有新数。代码如下：

 1 double GetResult(int num)
 2 {
 3     if (num<2)
 4         return 0;
 5     else
 6     {
 7         int i=0,j=num>>1;
 8         double sum=j;
 9         for (;i<=j;i++)
         {
             sum+=GetResult(i);
         }
         return sum;
     }
 

 

递归的潜在效率损失的确很大，测100前还没有什么性能差别，但是测到400，500的时候和动态规划的性能差别已经很大了（这个是事后的测试了）。当时比赛提交以后被判为“超时”，这个结果已经是我料到的。当时浙江师范和复旦大学的队伍给了我很大的压力。好不容易清醒下来，重新看了下题目。想到一道北大上做过的题目“Function Run Fun”,这道题目一开始也是用递归做，结果超时，最后是用动态规划做出来的。

        仔细研究题目时候，发现

当n=0时有0个新数，

当n=1时1个新数，

当n=2时2个新数，

当n=3时2个新数，

当n=4时4个新数，

当n=5时4个新数，

当n=6时6个新数

当n=7时6个新数，

当n=8时10个新数。

    打表之后发现

n8=n1+n2+n3+n4+1=1+2+2+4+1=10

n7=n1+n2+n3+1=1+2+2+1=6

....

n4=n1+n2+1=1+2+1=4

     得到这个结论之后就能打表做了，开辟一个2002大小的double数组，初始化好之后直接访问就可以了。代码如下

 1 double Arr[2002]={0};
 2 void SetResultArr()
 3 {
 4     int i=0,j;
 5     Arr[0]=0;
 6     Arr[1]=1;
 7     Arr[2]=2;
 8     Arr[3]=2;
 9     for (i=4;i<=2002;i++)
     {
         for (j=1;j<=i>>1;j++)
         {
             Arr[i]+=Arr[j];
         }
         Arr[i]++;
     }
 

 

     利用打表的方法是空间换速度，直接寻址的速度还是非常可观的，最后这道题终于AC了。