codeforces 983A Finite or not?判断进制有限表示

http://codeforces.com/problemset/problem/983/A

给你一个分子p，一个分母q，一个进制base：b。问b进制下，该分数是不是有限小数。

You are given several queries. Each query consists of three integers $\mathrm{pp, qq and bb.\; You\; need\; to\; answer\; whether\; the\; result\; of p/qp/q in\; notation\; with\; base bb is\; a\; finite\; fraction.}$

A fraction in notation with base $\mathrm{bb is\; finite\; if\; it\; contains\; finite\; number\; of\; numerals\; after\; the\; decimal\; point.\; It\; is\; also\; possible\; that\; a\; fraction\; has\; zero\; numerals\; after\; the\; decimal\; point.}$

Input

The first line contains a single integer $\mathrm{n (1\le n\le 105) —\; the\; number\; of\; queries.}$

Next $\mathrm{nn lines\; contain\; queries,\; one\; per\; line.\; Each\; line\; contains\; three\; integers pp, qq,\; and bb (0\le p\le 1018, 1\le q\le 1018, 2\le b\le 1018).\; All\; numbers\; are\; given\; in\; notation\; with\; base 1010.}$

Output

For each question, in a separate line, print Finite if the fraction is finite and Infinite otherwise.

 

首先有个错误想法是，必须分子分母整除一下，才能有效使用分母，然后分母的所有因子必须都能整除进制b。

比如分子分母互质之后的数是50，有2,5两个因子，那么b必须要是2*5=10的倍数才行。

道理是这么个道理，如何快速实现成才是卡住我的问题。

首先，分解因子是不可能的了，时间复杂度O(n^0.5)，然后我想到的是求gcd，不断用分母除以gcd(q,b)，这样不断求gcd代价也高。

这类题目几乎都是最后的数学实现是极度化简的，答案：

n=int(input())
s=''
for i in range(n):
    p,q,b=map(int,input().split())
    for i in range(6):
        b=(b*b)%q
        
    if((p*b)%q):
        s+='Infinite\n'
    else:
        s+='Finite\n'
print(s)

一般会有个取模的过程，谁做为模？分母q

谁去取模？p*b^x，这里面x需要任意，也就是说存在一个很大的x，使取模运算为0，那么就是finite的。

那么x的上限是多少？10^18约等于2^60，就是说b在小于10^18的情况下，b中的最小因子2顶多重复60遍，其他因子会更少，所以60是一个安全的上界。

所以要循环60次求出2^60？

快速幂登场，每次都把b平方一下，6次就到64了。

因为最后要模q，所以可以中途mo，防止爆炸。