HMM隐马尔科夫模型
马尔科夫过程
在概率论及统计学中，马尔可夫过程（英语：Markov process）是一个具备了马尔可夫性质的随机过程，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。马尔可夫过程是不具备记忆特质的。换言之，马尔可夫过程的条件概率仅仅与系统的当前状态相关，而与它的过去历史或未来状态，都是独立、不相关的。
一个马尔科夫过程是状态间的转移仅依赖于前n个状态的过程。这个过程被称之为n阶马尔科夫模型，其中n是影响下一个状态选择的（前）n个状态。最简单的马尔科夫过程是一阶模型，它的状态选择仅与前一个状态有关。这里要注意它与确定性系统并不相同，因为下一个状态的选择由相应的概率决定，并不是确定性的。
马尔可夫链（Markov Chain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。若Xn=i，就说过程在n时刻处于状态i，假设每当过程处于状态i，则过程在下一时
刻处于状态j的概率aij为一定值。即对任意n≥1，Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数
这样的随机过程称为Markov链。
状态转移矩阵
对于有N个状态的一阶马尔科夫模型，共有N*N个状态转移，因为任何一个状态都有可能是所有状态的下一个转移状态。每一个状态转移都有一个概率值，称为状态转移概率——这是从一个状态转移到另一个状态的概率。所有的N*N个概率可以用一个状态转移矩阵表示。
定义下面的矩阵A为状态转移概率矩阵：
满足条件：
1=<i,j<=N.
注意这些概率并不随时间变化而不同——这是一个非常重要（但常常不符合实际）的假设。
隐马尔科夫模型HMM
在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。
HMM是一种用参数表示的用于描述随机过程统计特性的概率模型，它是一个双重随机过程。HMM 由两部分组成:马尔可夫链和一般随机过程。其中马尔可夫链用来描述状态的转移，用转移概率描述。一般随机过程用来描述状态与观察序列间的关系，用观察值概率描述。对于HMM模型，状态转换过程是不可观察的，因而称之为“隐”马尔可夫模型。
一个HMM的例子
一个HMM可以由下列参数描述：
1. N：模型中，Markov链的状态数目。记N个状态为θ1，θ2，⋯，θN，记t时刻Markov链所处的状态为qt，显然qt∈(θ1，θ2，⋯，θN)。在罐子和球的实验中罐子就相当于HMM中的状态。
2．M：每个状态对应的可能的观测值数目。记M个观测值为v1，v2，⋯，vM，记t时刻的观测值为Ot，其中Ot∈(v1，v2，⋯，vM)。在罐子和球的实验中所选球的颜色就是HMM模型中的观测值。
3． π：初始概率分布矢量 π =( π1， π2，⋯， πN)，其中
πi=P(qt=θi)，1=<i<=N.
在罐子和球的实验中，指实验开始时选择的某个罐子的概率。
4．A：状态转移概率矩阵，A=(aij)N*N。其中，
aij=P(qt+1=θj／qt=θi) 1≤i，j≤N
在罐子和球的实验中是指每次选取当前罐子的条件下，选取下一个罐子的概率。
5．B：观测值概率矩阵，B=(bjk)N*M，其中
bjk=P(Ot=vk／qt=θj)，1≤j≤N，1≤k≤M
在罐子和球的实验中，bjk就是第j个罐子中球的颜色k出现的概率。
这样，记HMM为：
λ =(N，M，π，A，B)
或简写为：
λ =(π，A，B)
HMM可以分为两部分，一个是Markov链，由π、A来描述，产生的输出为状态序列：另一个随机过程，由B来述，产生的输出为观测值序列。
HMM基本算法
给定的一个HMM，必需要解决三个基本问题，围绕着三个基本问题，人们研究出了三个基本算法，这三个问题是：
问题1 HMM的概率计算问题
给定观测序列o={ol，o2，⋯，ot}和模型λ，怎样有效地计算观测变量序列o的在给定模型下的概率P(OIλ)
问题2 HMM的最优状态序列问题
给定观测序列O={o1，o2，⋯，ot)和模型λ，怎样选择一个相应的状态序列q={q1，q2，⋯，qt)，能够在某种意义上最优(例如，更好的解释“观测变量”)?
问题3：HMM的训练问题(参数估计问题)
给定观测序列O={o1，o2，⋯，ot，)和初始条件，如何调整模型参数λ=(π，A，B)使P(Olλ)为最大?
前向一后向算法
这个算法是上述第一个问题的解决方案。
前向算法
定义前向变量为：αt(i)=P(o1，o2，…，ot，qt=θiIλ)，l≤t≤T
那么，有，
a)初始化
α1(i)=πi*bi(o1)
b)递归
c)终结
后向算法
定义后向变量为：
βt(i)=P(ot+I，ot+2，…，oT|qt=θi，λ)，1≤t≤T-1
其中，βT(i)=1，后向算法的计算过程如下：
a)初始化
βT(i)=1，1≤i≤N
b)递归
c)终结
后向算法初始化时对于所有的状态i定义βT(i)=1。
Viterbi算法
问题2是寻求“最优”状态序列。‘‘最优’’的意义有很多种，由不同的定义可得到不同的结论。这里讨论的最优意义上的状态序列Q*，是指使P(Q|O，λ)最大时所确定的状态序列。这实际上是一个动态规划问题。这个过程可以用Viterbi算法来实现。Viterbi算法可以叙述如下：定义δt(i)为t时刻沿一条路径ql，q2，⋯，qt，且qt=θi，产生出o1,o2,⋯,ot的最大概率，即有
那么求取最优状态序列Q*的过程为：
a)初始化
b)递归
C)终结
其中符号argmax符号定义为，如果i=I，f(i)达到最大值，那么
d)求最佳状态序列
Baum—Welch算法
这个算法解决了上面提到的问题三，即HMM训练或参数估计问题，即给定一个观测值序列O={o1，o2，⋯，oT}，该算法能够确定一个模型λ=(π，A，B)使P(Olλ)为最大。这是一个泛函极值问题，因而不存在一个最佳方案来估计λ。在这种情况下，Baum—Welch算法利用递归的思想，使P(Olλ)为局部最大，最后得到模型的参数。其实就是用了EM算法的思想。定义ξt(i,j)为给定训练序列O和模型λ时，时刻t时Markov链处于θi状态和时刻t+1时处于θj状态时的概率，即
ξt(i,j)=P(O，qt=θi，qt+1=θj|λ)
根据前向变量和后向变量的定义可以导出：
ξt(i,j)=[αt(i)aijbj(ot+1)βt+1(j)]/P(Olλ)
那么t时刻Markov链处于θi状态的概率为：
于是．表示从θi状态转移出去的期望值数目，而
表示从θi状态转移到θj状态的期望值数目。由此导出了Baum-Welch算法中著名的重估公式
那么HMM的参数λ=(π，A，B)的求取过程为；根据观测序列O和选取的初始模型λ0=(π，A，B)，由重估公式求得一组新的参数露亦即得到了一个新模型
，可以证明
。即有重估公式得到的
比λ在表示观测值序列O的方面要好，那么重复这个过程，逐步改进模型参数，直到
满足一定的收敛条件，即不再明显增大，此时的
就是所求之模型，
HMM用于模式识别
HMM是一种动态模式识别工具，能够对一个时间跨度上的信息进行统计建模和分类。
在语音识别中,要首先建立一种对应关系,例如,使一个字对应一个HMM,这里的状态就是指这个音所包含的全部可能的音素(或其细分,或其组合)。对应于此字的一个观测样本,这些音素按照一定的先后顺序出现,这就形成了HMM中的状态序列,现实中不可观测到。相应的观测过程的现实就是每个字母所对应的声音信号的振幅。为了建立上述对应关系,首先应对
该字的一组观测样本(该字的若干个声音信号)进行学习,也就是说相应的状态序列缺失的情况下进行HMM的参数估计。用数理统计的语言来说,就是不完全数据的参数估计。
在学习了每个字的参数后,就可以用来识别。也就是对一组观测样本(一个字的声音信号),找到最大可能产生该观测样本的那个模型作为该字的代表。
基于方法的孤立词识别系统的基本思想:在训练阶段,用HMM的训练算法(如Baum一welch算法),建立系统词汇表中每个单词对应的HMM,记为λ。在识别阶段,使用前向一后向算法或Viterbi算法求出各个概率P(O/λi),其中O为待识别词的观测值序列。最后选取最大的P(O/λi))所对应的单词斌为O的识别结果。
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