从图灵机到计算机

从图灵机到计算机

图灵机给出了一个可实现的通用计算机模型，它能模拟现代计算机的所有计算行为，为了纪念这一伟大构想，美国计算机协会（ACM）设立计算机奖项图灵奖，旨在奖励对计算机事业作出重要贡献的个人 。

图灵奖对获奖条件要求极高，评奖程序极严，一般每年仅授予一名计算机科学家。

图灵奖是计算机领域的国际最高奖项，被誉为“计算机界的诺贝尔奖”。

图灵机是计算机的理论模型，基于这个理论模型去实现一台真正的计算机，还需要考虑以下几个问题。

1. 存储带上的字符表

上一个例子中计算了 3 和 2 相加，如果是10000 + 9999呢？

显然全用1表示是不合理的，如果用十进制表示呢？此时：

• 字母表中的包含的符号为：{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，b}，共11个符号
• 用于图灵机控制的程序将大量增加
• 确定当前指令也需要更多的时间

由此可知：

• 字母表中的符号越多，读入和移动的次数减少，但程序的数量就越多
• 字母表中的符号越少，程序量会减少，但读入和移动的次数就越多

研究表明，字母表中的最优数量为欧拉常数e（2.7182818284590……），取整后为3。

与具有两个状态的电子元器件相比，具有三个状态的电子元器件制造上更困难，可靠性更低。

所以字母表的数量一般为2，即计算机中的数为二进制表示（0，1）。

2. 关于控制器

计算机中的数的表示已经确定了，采用二进制表示（0，1），这里数是如何计算的呢？

2.1 布尔代数

英国数学家布尔（G.Boole），创立了一门全新的学科——布尔代数，为计算机的开关电路设计提供了重要的数学方法和理论基础。

2.2.1 基本逻辑运算

逻辑	真值表	MIL逻辑符号	动态示意图
与 AND
或 OR
非 NOT

2.2.1 复合逻辑运算

逻辑	真值表	MIL逻辑符号	动态示意图
与非 NAND
或非 NOR
异或 XOR
异或非 XNOR

2.2 算术运算

通过上述的逻辑运算，如何转换成二进制的算术运算呢？

以二进制加法为例，组合如下：

• 0 + 0，结果为 0，进位为 0
• 0 + 1，结果为 1，进位为 0
• 1 + 0，结果为 1，进位为 0
• 1 + 1，结果为 0，进位为 1

仔细分析，结果列可以由异或逻辑运算实现，进位列可以由与逻辑运算实现。

即可以通过异或门和与门实现一位二进制加法器（半加器）。

两个半加器组合可以实现一位全加器，多个全加器的组合可以实现任意比特位加法器。

真值表	逻辑实现

2.3 存储能力

图灵机在运行的时候，需要记录和修改当前的状态，这就需要存储的功能。

同样，逻辑运算可以实现存储数据的功能。通过4个NAND门电路可以构成一个D锁存器（Data Latch，D-Latch）。

D锁存器中有 D(Data) 和 E (Enable)两个输入信号，Q 和 $\overline{\text{Q}}$两个输出信号。D锁存器在E为0时保持前一个数据，E为1时将输入D的数据输出到Q。
$\overline{\text{Q}}$是输出信号Q的反相信号。

D锁存器真值表如下：

:::tip

D锁存器就是最简单的存器单元，可以存储 1bit 的数据。多个D锁存器的组合可以存储多个比特位，我们常说的寄存器就是这玩意。

多个D锁存器的组合搭建复杂的电路，外加寻址功能，就构成一个内存。

这样也可以理解，内存、寄存器在断电后信息就会丢失。

:::

D锁存器和NOT门组合，可以实现依据时钟信号同步并保存数据的D触发器。

D触发器的电路构成和符号如下表所示：

电路构成	符号

D触发器的动作原理如下图所示：

D触发器只有在CLK上升沿时，Q的输出才反映D端的输入信号。

D触发器是时序电路的最基本组成单元。

3. 晶体管实现逻辑门电路

使用逻辑组合可以完成二进制的运算和存储，这样我们离计算机的实现就更近一步了。那么在计算机中，各中逻辑门是如何实现的呢？

早期的电子管到现在的晶体管、集成电路的发明，使得各个逻辑门在电路中得以实现。

型号	内部构造	电路符号
N_MOS
P_MOS

以NMOS为例，栅极不施加电压时，源极和漏极见填充了异种半导体材料，因此电流无法流过；当给栅极施加正电压时，源极和漏极中的N型半导体材料的自由电子被栅极吸引，使通道中充满电子，源极和漏极间的电流从而能够流动。

如下表所示，通过N-MOS和P-MOS的组合，可以实现各种逻辑门。

逻辑	真值表	MOS管电路
非 NOT
与非 NAND
异或 XOR

4. 计算机的实现

图灵机给出的通用计算机模型，基于这个模型:

• 我们把数字运算转换成二进制的运算
• 并将所有的二进制运算转换成布尔运算
• 又将所有的布尔运算通过MOS搭建的电路实现

这样，一台“计算机”就算实现了。

冯诺依曼fu于1945年6月发表了《存储程序控制原理》的电子计算机方案，并于1952年制造完成EDVAC。

EDVAC是世界上第一台存储式计算机，是所有现代计算机的原型。

冯诺依曼计算机架构如下图所示：