Catalan数总结

参考维基百科 Catalan数详解
这里只是把常见的公式搬过来

设Catalan数的第n项为 hn$h_n$，定义 h0=h1=1$h_0=h_1=1$ 则有如下两个常用递推式

hn=h0hn−1+h1hn−2+...+hn−1h0,n>=2$$h_n=h_0{h}_{n-1}+h_1{h}_{n-2}+...+h_{n-1}{h}_0,n>=2$$

hn=4n−2n+1hn−1,n>=1$$h_n=\frac{4n-2}{n+1}{h}_{n-1},n>=1$$

通项公式为

hn=Cn2nn+1,n>=0$$h_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1},n>=0$$

hn=Cn2n−Cn−12n,n>=0$$h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1},n>=0$$

//Catalan数的前30项
h[0] = 1
h[1] = 1
h[2] = 2
h[3] = 5
h[4] = 14
h[5] = 42
h[6] = 132
h[7] = 429
h[8] = 1430
h[9] = 4862
h[10] = 16796
h[11] = 58786
h[12] = 208012
h[13] = 742900
h[14] = 2674440
h[15] = 9694845
h[16] = 35357670
h[17] = 129644790
h[18] = 477638700
h[19] = 1767263190
h[20] = 6564120420
h[21] = 24466267020
h[22] = 91482563640
h[23] = 343059613650
h[24] = 1289904147324
h[25] = 4861946401452
h[26] = 18367353072152
h[27] = 69533550916004
h[28] = 263747951750360
h[29] = 1002242216651368
h[30] = 3814986502092304

典型的应用问题

• 矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
• 出栈次序问题，一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
• 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
• 给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
• ……