UVA 1638 - Pole Arrangement（DP）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-1638

【题意】
有高度分别为1,2,3...n$1,2,\mathrm{3...}n$的杆子各一根排成一行，从左到右能看到 L$L$ 根，从右到左能看到R$R$ 根，问你有多少种可能的排列情况.（n<=20）$（n<=20）$

【思路】
虽然n$n$很小，但直接暴力枚举也会T，还是不怎么会递推，这道题要先假设 dp[i][j][k]$dp[i][j][k]$ 表示有i根高度互不相同的杆子，从左到右能看到j根，从右到左能看到k根的总方案数.
递推的过程也很关键，要假设杆子从高到低考虑比较好想，假设第 i$i$ 根杆子是最低的，也就是有i−1$i-1$个比它高的杆子已经排成了一个合法组合，那么有如下三种情况

• 把这根杆子插在最左边，左边能看见，右边看不见
• 把这根杆子插在最右边，右边能看见，左边看不见
• 把这根杆子插在中间的某一处，左右都看不见

情况一种那 i−1$i-1$ 根杆子必须满足从左边能看到 j−1$j-1$ 根，从右边能看到 k$k$ 根；同理情况二那 i−1$i-1$ 根杆子必须满足从左边能看到 j$j$ 根，从右边能看到k-1根；情况三是从左边能看到j根，从右边能看到 k$k$ 根，但是可以选择 i−2$i-2$ 个空位插入

所以最后的状态转移就是

dp[i][j][k]=dp[i−1][j−1][k]+dp[i−1][j][k−1]+(i−2)dp[i−1][j][k]$$dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]+dp[i-1][j][k-1]+(i-2)dp[i-1][j][k]$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=22;

int n,le,ri;
ll dp[maxn][maxn][maxn];

void solve(){
    dp[1][1][1]=1LL;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=le;++j){
            for(int k=1;k<=ri;++k){
                dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]+dp[i-1][j][k-1]+dp[i-1][j][k]*(i-2);
            }
        }
    }
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&n,&le,&ri);
        solve();
        printf("%lld\n",dp[n][le][ri]);
    }
    return 0;
}