UVA 11971 - Polygon（概率，思维）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11971

【题意】
有一根长度为n的木条，随机选择k个位置将它们切成k+1段小木条，求这些小木条能组成一个多边形的概率（n<=1e6,k<=50）

【思路】
思维题目，答案和n没有任何关系，而且要将直线转换为圆来考虑，将木条围成一个圆后再开切k+1刀，得到k+1段. 组不成多边形就是其中有一段特别长，比其他k段加起来还要长。先算出不能围成多边形的概率，那么就是圆上面必须要有一段的长度大于半个圆周长，且其他的k-1个位置都要在同一边.
第一个点随机选，概率为1，假设这个点就是木条要组成圆的那两端.接下来要选其他的k个点的位置，他们都在同一个半圆上的概率是12k$\frac{1}{2^k}$。假设分成这样的k+1段，A0A1A2....AK$A_0{A}_1{A}_2....A_K$。那么A0 A1$A_0{A}_1$就是一段了.假设是这一段最大且超过n的一半。那么其他的k-1个位置就必须在同一边且在偏短的那一边.共有k+1段，都有可能是最长的那段，所以概率(k+1)×12k$(k+1)\times \frac{1}{2^k}$ 最后的答案为1−(k+1)×12k$1-(k+1)\times \frac{1}{2^k}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int kase=1;kase<=T;++kase){
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        ll x=(1LL<<k)-(k+1);
        ll y=(1LL<<k);
        ll g=gcd(x,y);
        x/=g;
        y/=g;
        printf("Case #%d: %lld/%lld\n",kase,x,y);
    }
    return 0;
}