莫比乌斯函数计算（模板）

莫比乌斯函数定义

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪1(−1)k0(n=0)(n=p1p2...pk,∀pi!=pj)(others)$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{(n=0)}\\ (-1{)}^k& (n=p_1{p}_2...p_k,\mathrm{\forall }{p}_i!=p_j)\\ 0& (others)\end{array}$

莫比乌斯函数计算

直接计算，只需要对n做一次唯一分解就可以了，复杂度 O(n−−√)$O(\sqrt{n})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100005;

int main(){
    int n,m,k;
    while(scanf("%d",&n)==1){
        m=sqrt(n)+0.5;
        k=0;
        bool ok=true;
        for(int i=2;i<=m;++i){
            if(n%i==0){
                int tmp=0;
                while(n%i==0){
                    n/=i;
                    ++tmp;
                }
                if(tmp>1){
                    ok=false;
                    break;
                }
                else k+=tmp;
            }
        }
        if(n>1) ++k;
        if(ok) printf("%d\n",(k&1)?-1:1);
        else puts("0");
    }
    return 0;
}

线性筛选

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=10000005;

bool vis[maxn];
int prim[maxn];
int mu[maxn];
int cnt;

void get_mu(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && prim[j]*i<=n;j++){
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0) break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯函数的常用性质

∑d|nμ(d)={10(n=1)(其它)$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& \text{(n=1)}\\ 0& (其它)\end{array}$$

∑d|nμ(d)d=phi(n)n$$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{phi(n)}{n}$$

反演公式

对于函数 F(n)$F(n)$ 和 f(n)$f(n)$ 满足

F(n)=∑d|nf(d)$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$

那么就有

f(n)=∑d|nu(d)F(nd)$$f(n)=\sum _{d|n}u(d)F(\frac{n}{d})$$

或者若满足

F(n)=∑n|df(d)$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$

就有

f(n)=∑n|du(dn)F(d)$$f(n)=\sum _{n|d}u(\frac{d}{n})F(d)$$