BZOJ 1101 - Zap（莫比乌斯反演）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/HYSBZ-1101

【题目描述】
FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b$a,b$和d$d$，有多少正整数对x,y$x,y$，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d$x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d$作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助

第一行包含一个正整数n$n$，表示一共有n$n$组询问。（1<=n<=50000）$（1<=n<=50000）$接下来n$n$行，每行表示一个询问，每行三个
正整数，分别为a,b,d（1<=d<=a,b<=50000）$a,b,d（1<=d<=a,b<=50000）$

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

【样例输入】
2
4 5 2
6 4 3

【样例输出】
3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）

【思路】
题目要求的式子是

∑x=1a∑y=1b[gcd(x,y)==d]$$\sum _{x=1}^a\sum _{y=1}^b[gcd(x,y)==d]$$

令 a′=ad b′=bd$a^{\prime }=\frac{a}{d}{b}^{\prime }=\frac{b}{d}$ 将题目转换成

∑x=1a′∑y=1b′[gcd(x,y)==1]$$\sum _{x=1}^{a^{\prime }}\sum _{y=1}^{b^{\prime }}[gcd(x,y)==1]$$

设 f(n)表示gcd(x,y)==n(x∈[1,a′],y∈[1,b′])$f(n)表示gcd(x,y)==n(x\in [1,a^{\prime }],y\in [1,b^{\prime }])$ 的整数对个数
F(n)表示gcd(x,y)==n的倍数(x∈[1,a′],y∈[1,b′])$F(n)表示gcd(x,y)==n的倍数(x\in [1,a^{\prime }],y\in [1,b^{\prime }])$ 的整数对个数，则有

F(n)=⌊a′n⌋⌊b′n⌋$$F(n)=\lfloor \frac{a^{\prime }}{n}\rfloor \lfloor \frac{b^{\prime }}{n}\rfloor$$

F(n)=∑n|df(d)$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$

根据莫比乌斯反演公式

f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$

题目问的就是f(1)$f(1)$

f(1)=∑d=1min(a,b)μ(d)⌊a′d⌋⌊b′d⌋$$f(1)=\sum _{d=1}^{min(a,b)}\mu (d)\lfloor \frac{a^{\prime }}{d}\rfloor \lfloor \frac{b^{\prime }}{d}\rfloor$$

预处理出 μ(x)$\mu (x)$ 的前缀和，再套上整除分块来做

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=50005;

bool vis[maxn];
int prim[maxn],sum[maxn];
int mu[maxn];
int cnt;

void get_mu(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && prim[j]*i<=n;j++){
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0) break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

void solve(int a,int b){
    int ans=0;
    for(int L=1,R;L<=a;L=R+1){
        R=min(a/(a/L),b/(b/L));
        ans+=(sum[R]-sum[L-1])*(a/L)*(b/L);
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main(){
    get_mu(maxn-1);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int a,b,d;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        if(a>b) swap(a,b);
        solve(a/d,b/d);
    }
    return 0;
}