51Nod - 1040（欧拉函数）

题目链接 https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1040

【题目描述】
给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6
1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input
1个数N(N <= 10^9)
Output
公约数之和

Input示例
6
Output示例
15

【思路】
既然是1~n与n的公约数，那么肯定是n的因子，每一个 n$n$ 的因子所对 sum$sum$ 产生的增量为：gcd(n,i)=x(x$gcd(n,i)=x(x$为这个因子)的个数，也就是gcd(nx,ix)=1$gcd(\frac{n}{x},\frac{i}{x})=1$的个数，也就是 phi(nx)$phi(\frac{n}{x})$ 了，写成公式就是

∑i=1ngcd(i,n)=∑i=1,i|nnphi(ni)×i$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)=\sum _{i=1,i|n}^{n}phi(\frac{n}{i})\times i$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int euler_phi(int n) {
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    int ans = n;
    for (int i = 2; i <= m; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i *(i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) ans = ans / n *(n - 1);
    return ans;
}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int m=sqrt(n)+0.5;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        if(n%i==0){
            ans+=(ll)i*(ll)euler_phi(n/i);
            int j=n/i;
            if(j!=i) ans+=(ll)j*(ll)euler_phi(n/j);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}