51Nod 1678 - lyk与gcd（分解因子+容斥）

题目链接 https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1678

【题目描述】
这天，lyk又和gcd杠上了。
它拥有一个n$n$个数的数列，它想实现两种操作。
1：将 ai$a_i$ 改为 b$b$
2：给定一个数i，求所有 gcd(i,j)=1$gcd(i,j)=1$ 时的 aj$a_j$ 的总和

Input
第一行两个数n，Q(1<=n,Q<=100000)。
接下来一行n个数表示ai(1<=ai<=10^4)。
接下来Q行，每行先读入一个数A(1<=A<=2)。
若A=1，表示第一种操作，紧接着两个数i和b。(1<=i<=n,1<=b<=10^4)。
若B=2，表示第二种操作，紧接着一个数i。(1<=i<=n)。
Output
对于每个询问输出一行表示答案。

Input示例
5 3
1 2 3 4 5
2 4
1 3 1
2 4
Output示例
9
7

【思路】
首先这题要从反面考虑，对于每个i$i$求出j∈[1,n]$j\in [1,n]$所有gcd(i,j)!=1$gcd(i,j)!=1$的数，然后用总和减去这些数对应的a[j]$a[j]$的值的和，难点在于用一个数组 c[x]$c[x]$ 来表示所有 x$x$ 的倍数k对应的 a[kx]$a[kx]$的和，也就是

c[x]=∑k=1kx<=na[kx]$$c[x]=\sum _{k=1}^{kx<=n}a[kx]$$

有了这个数组就方便更新和查询了，每次更新的时候不只是把数组 a$a$ 和总和 sum$sum$ 更新，还要把 c$c$ 数组也更新，更新a[id]$a[id]$时，枚举id$id$的所有因子（1不用），然后把对应因子v$v$的c[v]$c[v]$也更新即可
查询的时候用容斥原理，某个数j$j$和输入的id$id$不互素说明gcd(id,j)$gcd(id,j)$一定是一个id$id$的因子，对id$id$做唯一分解，找出所有素因子，然后枚举素因子的所有组合情况，如果是奇数个素因子相乘所得的倍数那么答案就加上这一部分，否则减去

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100005;

int n,q;
int a[maxn],sum;
int c[maxn];
int fac[maxn],num;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum+=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;i*j<=n;++j){
            c[i]+=a[i*j];
        }
    }
    while(q--){
        int tp;
        scanf("%d",&tp);
        if(tp==1){
            int id,val;
            scanf("%d%d",&id,&val);
            c[id]+=val-a[id];
            int m=sqrt(id)+0.5;
            for(int i=2;i<=m;++i){
                if(id%i==0){
                    c[i]+=val-a[id];
                    if(id/i!=i) c[id/i]+=val-a[id];
                }
            }
            sum+=val-a[id];
            a[id]=val;
        }
        else{
            int id;
            scanf("%d",&id);
            int m=sqrt(id)+0.5;
            num=0;
            for(int i=2;i<=m;++i){
                if(id%i==0){
                    fac[num++]=i;
                    while(id%i==0) id/=i;
                    if(id==1) break;
                }
            }
            if(id>1){ fac[num++]=id; }

            int ans=0;
            for(int s=1;s<(1<<num);++s){
                int cnt=0;
                int tmp=1;
                for(int j=0;j<num;++j){
                    if(s>>j&1){
                        tmp*=fac[j];
                        ++cnt;
                    }
                }
                if(cnt&1) ans+=c[tmp];
                else ans-=c[tmp];
            }
            printf("%d\n",sum-ans);
        }
    }
    return 0;
}