51Nod 1188 - 最大公约数之和 V2（欧拉函数）

题目链接 https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1188

【题目描述】
给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。相当于求

Ans=∑i=1i<n∑j=i+1j<ngcd(i,j)$$Ans=\sum _{i=1}^{i<n}\sum _{j=i+1}^{j<n}gcd(i,j)$$

Input
第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)
Output
共T行，输出最大公约数之和。

Input示例
3
10
100
200000
Output示例
67
13015
143295493160

【思路】
51Nod 1040是这题的简化版，求的是

∑i=1i<ngcd(i,n)$$\sum _{i=1}^{i<n}gcd(i,n)$$

有公式

∑i=1i<ngcd(i,n)=∑i=1,i|ni<ni×phi(ni)$$\sum _{i=1}^{i<n}gcd(i,n)=\sum _{i=1,i|n}^{i<n}i\times phi(\frac{n}{i})$$

把它用到这道题里面去

Ans=∑i=1n∑j=1n−1gcd(i,j)$$Ans=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n-1}gcd(i,j)$$

=∑i=2i<n∑j=1j<igcd(i,j)$$=\sum _{i=2}^{i<n}\sum _{j=1}^{j<i}gcd(i,j)$$

=∑i=2i<n∑t=1,t|it<it×phi(it)$$=\sum _{i=2}^{i<n}\sum _{t=1,t|i}^{t<i}t\times phi(\frac{i}{t})$$

按照这个式子去计算，当然不能直接像这样直接枚举每个 i$i$，然后再枚举每个 i$i$ 的因子 t$t$ ，通过观察可以发现这个式子枚举的是 [2,n]$[2,n]$ 所有数除了自己之外的所有因子，所以换个角度出发，直接枚举每个因子 t$t$，然后把 t$t$ 的若干倍作为 i$i$ 来使用，就可以像埃氏筛那样在 O(nlogn)$O(nlogn)$ 的时间内预处理所有答案了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 5000005;

int phi[maxn];
ll ans[maxn];

void phi_table(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; ++i) phi[i] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (0 == phi[i]) {
            for (int j = i; j <= n; j += i) {
                if (0 == phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=2;j*i<=n;++j){
            ans[i*j]+=(ll)phi[j]*(ll)i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) ans[i]+=ans[i-1];
}

int main(){
    phi_table(maxn-1);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}