UVA 11354 - Bond（最小生成树+LCA）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11354

【题意】
给定$n$个点，$m$条边的无向图，每条边有一个权值。要求回答若干组询问，每个询问包含一个起点$s$和一个终点$t$，要求找到一条从$s$到$v$的路径，使得途径所有边的最大边权最小
$n<=50000,m<=100000$

【思路】
题目中问的其实也就是 $s$ 到 $t$ 的最小瓶颈路，但是不能用传统方法做，首先求出最小生成树然后把它变成有根树，令$parent[i][j]$表示节点 $i$ 向上走 $2^j$ 步到达的节点，$cost[i][j]$ 记录这一过程中经过所有边的最大边权，$depth[i]$ 记录节点 $i$ 的深度，那么可以有如下状态转移 $parent[i][j]=parent[parent[i][j-1]][j-1]$ $cost[i][j]=max\{cost[i][j-1],cost[parent[i][j-1]][j-1]\}$
递推的边界是 $parent[i][0] 和 cost[i][0]$ 它们以及 $depth[i]$ 都可以通过一次树上的dfs处理出来。之后查询函数就和求LCA类似，先让不同两个节点 $u,v$ 到达同一深度，然后共同向上走寻找LCA，在这个过程中不断更新答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int inf=2e9;
const int maxn=50005;
const int logn=20;

struct Edge{
	int from,to,dist;
	Edge(int f,int t,int d):from(f),to(t),dist(d){}
	bool operator<(const Edge& e)const{
		return dist<e.dist;
	}
};

int n,m,q;
int par[maxn];
vector<Edge> edges,g[maxn];

int find(int x){ return par[x]==x?x:par[x]=find(par[x]); }

void kruscal(){
	for(int i=0;i<n;++i){ par[i]=i;g[i].clear(); }
	sort(edges.begin(),edges.end());
	int cnt=0;
	for(int i=0;i<m;++i){
		Edge& e=edges[i];
		int x=find(e.from);
		int y=find(e.to);
		if(x!=y){
			par[x]=y;
			g[e.from].push_back(Edge(e.from,e.to,e.dist));
			g[e.to].push_back(Edge(e.to,e.from,e.dist));
			if(++cnt==n-1) break;
		}
	}
}

int depth[maxn];
int parent[maxn][logn];
int cost[maxn][logn];

void dfs(int u,int fa,int d,int w){
	depth[u]=d;
	parent[u][0]=fa;
	cost[u][0]=w;
	for(int i=0;i<g[u].size();++i){
		Edge& e=g[u][i];
		int v=e.to;
		if(v!=fa) dfs(v,u,d+1,e.dist);
	}
}

void init(){
	dfs(0,-1,0,0);
	for(int j=1;(1<<j)<n;++j){
		for(int i=0;i<n;++i){
			int a=parent[i][j-1];
			if(a==-1){
				parent[i][j]=-1;
				cost[i][j]=0;
			}
			else{
				parent[i][j]=parent[a][j-1];
				cost[i][j]=max(cost[i][j-1],cost[a][j-1]);
			}
		}
	}
}

int query(int u,int v){
	int ans=-inf,log=0;
	if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v);
	while( (1<<(log+1)) <= depth[u]) ++log;

	for(int k=log;k>=0;--k){
		if((depth[u]-depth[v])>>k&1){
			ans=max(ans,cost[u][k]);
			u=parent[u][k];
		}
	}

	if(u==v) return ans;

	for(int k=log;k>=0;--k){
		if(parent[u][k]!=-1 && parent[u][k]!=parent[v][k]){
			ans=max(ans,cost[u][k]);
			ans=max(ans,cost[v][k]);
			u=parent[u][k];
			v=parent[v][k];
		}
	}
	ans=max(ans,cost[u][0]);
	ans=max(ans,cost[v][0]);
	return ans;
}

int main(){
	int kase=0;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
		if(kase) puts("");
		kase=1;
		edges.clear();
		for(int i=0;i<m;++i){
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			edges.push_back(Edge(u-1,v-1,w));
		}
		kruscal();
		init();
		scanf("%d",&q);
		while(q--){
			int u,v;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			printf("%d\n",query(u-1,v-1));
		}
	}
	return 0;
}