51Nod 1120 - 机器人走方格 V3（Lucas定理+Catalan数）

题目链接 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1120

【题目描述】
N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。

Input
输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。
Output
输出走法的数量 Mod 10007。

Input示例
4
Output示例
10

【思路】
卡特兰数，模数比较小用Lucas定理

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=10010;
const int mod=10007;

ll pw(ll x,ll n){
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		n>>=1; 
	}
	return ans;
}

ll inv(ll a){return pw(a,mod-2);}

ll fac[maxn];
ll invfac[maxn];

void init(){
	fac[0]=1;
	invfac[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;++i){
		fac[i]=fac[i-1]*(ll)i%mod;
		invfac[i]=inv(fac[i]);
	}
}

ll C(int n,int m){
	return fac[n]*invfac[m]%mod*invfac[n-m]%mod;
}

ll Lucas(int n,int m){
	if(m>n) return 0LL;
	ll ans=1LL;
	for(;m;n/=mod,m/=mod)
		ans=ans*C(n%mod,m%mod)%mod;
	return ans;
}

ll Cat(int n){
	return ((Lucas(2*n,n)-Lucas(2*n,n-1))%mod+mod)%mod;
}

int main(){
	init();
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%lld\n",2LL*Cat(n-1)%mod);
	return 0;
}