51Nod 1050 - 循环数组最大子段和（DP）

题目链接 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1050

【题目描述】
N个整数组成的循环序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的连续的子段和的最大值（循环序列是指n个数围成一个圈，因此需要考虑a[n-1],a[n],a[1],a[2]这样的序列）。当所给的整数均为负数时和为0。
例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段为：11,-4,13。和为20。

Input
第1行：整数序列的长度N（2 <= N <= 50000)
第2 - N+1行：N个整数 (-10^9 <= S[i] <= 10^9)
Output
输出循环数组的最大子段和。

Input示例
6
-2
11
-4
13
-5
-2
Output示例
20

【思路】
本题思路很巧妙，与普通的最大子段和问题不同的是，最大子段和可以是首尾相接的情况，即可以循环。那么这个题目的最大子段和有两种情况
（1）正常数组中间的某一段和最大。这个可以通过普通的最大子段和问题求出。
（2）此数组首尾相接的某一段和最大。这种情况是由于数组中间某段和为负值，且绝对值很大导致的，那么我们只需要把中间的和为负值且绝对值最大的这一段序列求出，用总的和减去它就行了。
即，先对原数组求最大子段和，得到 $ans$，然后把数组中所有元素符号取反，再求最大子段和，得到 $tmp$，然后 $tmp$ 取负就是最小连续子段和
原数组的所有元素和为 $sum$，那么最终答案就是 $max(ans, sum - tmp)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50005;

int n;
int a[maxn],b[maxn];
ll dp[maxn];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	ll sum=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=-a[i];
		sum+=a[i];
	}
	ll ans=a[0];
	dp[0]=a[0];
	for(int i=1;i<n;++i){
		if(dp[i-1]>0) dp[i]=dp[i-1]+a[i];
		else dp[i]=a[i];
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	ll tmp=b[0];
	dp[0]=b[0];
	for(int i=1;i<n;++i){
		if(dp[i-1]>0) dp[i]=dp[i-1]+b[i];
		else dp[i]=b[i];
		tmp=max(tmp,dp[i]);
	}
	tmp=-tmp;
	ans=max(ans,sum-tmp);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}