Semi-Supervised Dimensionality Reduction
今天阅读了一篇关于半监督降维的论文，做个总结。这篇论文的全名叫《Semi-Supervised Dimensionality Reduction》（2006），是南大周志华老师的大作。
本文提出了一种新的半监督降维算法，并与其他几种半监督降维算法进行了比较。
传 统的机器学习方法通过大量带标注训练样本学习得到模型参数，并根据模型对新样本进行预测。一方面，手工标注样本的标号既费时又费力，而我们当今身处信息爆 炸的时代，这更为人工标注数据增加了难度；另一方面，获取大量未标注数据相对容易得多。如果只依赖于少量标注数据进行学习，那么势必会造成过拟合 （overfitting，即在训练数据集上预测能力很好，但在测试集上预测效果很差的现象），特别是在属性维远远高于样本维的时候。解决过拟合的一个方 法就是增加训练样本，但是限于人力物力无法大量获得标注样本，然而有学者研究发现，无标注数据中蕴含大量有用的信息，利用这些信息可以大幅度改善学习机的 性能。因此，人们自然想到了结合少量标注数据（先验知识）和大量未标注数据来学习提高学习机泛化能力（generalization ablity）的方法，这种方法就是半监督学习（Semi-Supervised Learning，SSL）。
机器学习的三个大方向是：分类、回归、聚类，照此划分方式，我们可以将半监督学习分为：
半监督分类
半监督回归
半监督聚类
目前，半监督回归和半监督聚类这两个方向还比较新，可以出很多的论文
常见的先验知识主要有两种。第一种是标号信息，这类先验信息用在分类方面比较多，如Cai deng的SDA，Zhou deng yong的Label Propagation等；
第 二种是成对约束（pairwise constraint），这类信息主要用于聚类，约束有两种，一个是正约束(must-link)，正约束指定两个sample必须属于同一类；另一个是 负约束(cannot-link)，与正约束相反。这两种信息都可以结合进半监督降维中。不过约束形式的先验知识更普遍，应用更广。主要原因有2个：1是 成对约束比标号信息更容易获得，人工标注需要相关领域的专家知识，而分辨两个样本是否属于同一类则轻松的多，甚至普通人就能做到；2是从标号信息可以推出 约束信息，反之则不然，因此可以说约束比标号更普遍、通用
下面进入正文，介绍一下这篇论文的基本思想
该算法的目标函数是：
\begin{align}
J(w) = &\frac{1}{2n^2}\sum_{i,j}({w}^T{x}_i-{w}^T{x}_j)^2\\
&+\frac{\alpha}{2n_C} \sum_{({x}_i,{x}_j)\in C}({w}^T{x}_i - {w}^T{x}_j)^2\\
&-\frac{\beta}{2n_M}\sum_{({x}_i,{x}_j)\in M}({w}^T{x}_i - {w}^T{x}_j)^2
\end{align}
其 中，$w$是投影向量，$n_C$是cannot-link的数量，$n_M$是must-link的数量,$x_i$表示第i个样本，是个列向量。其实 这个目标函数的含义很直观，第一项$\frac{1}{2n^2}\sum_{i,j}({w}^T{x}_i-{w}^T{x}_j)^2$是所有点之 间距离的平均值，比如有n个点，那么就有$\frac{n(n-1)}{2}$个这样的点对。第二项是cannot-link集合的点之间的平均距离。第 三项同理，是must-link集合点之间的平均距离。注意的是，通常cannot-link点对之间的距离比其他项要大得多，因此我们需要调节这三项之 间的比例，使得目标函数不会失衡，这体现在后两项的参数数$\alpha$，$\beta$上，一般$\beta$大于1，$\alpha$要小一点。对 于这个函数，我们希望投影后的空间中，cannot-link的点对距离尽可能地大，must-link的点对距离尽可能地小，因此这个函数越大越好。
定义了目标函数我们就可以开始求解它了，我们可以将目标函数进一步写成如下更简练的形式：
\( J(w) = \frac{1}{2} \sum_{i,j}({w}^T{x}_i - {w}^T{x}_j)^2S_{ij}\)
这样，我们就可以用一个图来对这个函数进行建模了。其中$S_{ij}$是图的相似度，其定义如下：
\(S_{ij} = \begin{cases}
\frac{1}{n^2}+\frac{\alpha}{n_C}\qquad&\mbox{if$(x_i,x_j)\in C$}\\
\frac{1}{n^2}-\frac{\beta}{n_M}\qquad&\mbox{if$(x_i,x_j)\in M$}\\
\frac{1}{n^2}\qquad&\mbox{otherwise}
\end{cases}\)
接下来的计算需要用到一些谱图理论的知识，如果不懂可以参考原论文，我们可以将上面的目标函数化简为：
\( J(w) = {w}^T{X}{L}{X}^T{w} \)
其中$L=D-S$是图的Laplacian矩阵，$D$是对角矩阵，其中$D_{ii} = \sum_j W_{ij}$
我们可以加入约束保证得到一个单位向量$w^Tw=1$
我们的目标是最大化这个函数，最大化这个函数等价于寻找矩阵$XLX^T$的最大特征值。
因 此，只要对矩阵$XLX^T$进行特征值分解，求得的前$d$个最大特征值对应的特征向量$w_i$组成投影矩阵，对原始数据进行投影，之后在降维后的子 空间进行分类或者聚类就可以了。由于结合了约束信息，所以聚类的结果比无监督的结果会好很多。随着约束数量的提高，结果会越来越好。
评价：
SSDR结合了成对约束信息，并在低维空间中保持了这些信息，同时为所有未标注点分配了相同的权重，从而也使得全局结构也在低维流形空间中得到了保留。但缺点是只考虑了低维流形的全局结构而忽略了其局部结构，而实际上这两者缺一不可。因此改进可以从这方面着手。
