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欧拉定理、费马小定理

欧拉函数（小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目）：
$\varphi(x)=x \prod_{i=1}^n{1- {1\over {p_i}}}(其中p_1,p_2...p_n为x的所有质因数，x为不为0的整数)\定义\varphi(1)=1$

$a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m)(gcd(a.m)=1)$ 当m为质数p且x不是p的倍数时即为费马小定理 $x^{p-1} \equiv1(mod\ p)$

欧拉函数得出

/*
特性 :
1.若a为质数,phi[a]=a-1;
2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
*/
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int main()
{
        phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<=n;j++)  //用当前已得到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,特性3其,p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}

威尔逊定理

$当且仅当 p 为素数时： (p - 1)! \equiv - 1 (m o d p)$

卢卡斯定理及其扩展

$C_m^n \ mod \ p = C_{\frac{m}{p}}^{\frac{n}{p}}C_{(m \ mod \ p)}^{(n \ mod \ p)} \ mod \ p(p为素数)$

欧几里得定理及其扩展

欧几里得定理

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

欧几里得扩展

$a x + b y = g c d (a, b) = d$ 在已知 $a, b$ 的情况下，求出一组解 $x, y$

$a\%b=a-a/b*b$

解法：
$\begin{aligned} d & = g c d (a, b) = g c d (b, a % b) \\ = a x + b y = b x_{1} + (a - a / b * b) y_{1} \end{aligned}$

$\begin{aligned} b x_{1} + (a - a / b * b) y_{1} & = b x_{1} + a y_{1} - (a / b) b y_{1} \\ = a y_{1} + b (x_{1} - a / b y_{1}) \end{aligned}$

$可得 x=y_1,y=(x_1-a/by_1)$

结论：

由欧几里得扩展得到一组特解 $x_0,y_0)$ ,那么有 $ax_0+by_0=d$

方程通解为 $x=x_0+k(b/d),y=y_0-k(a/d)(k为任意整数)$

那么 $a x + b y = c$ 仅当 $d ∣ c$ 时有解，且解为 $x=(c/d)x_0+k(b/d),y=(c/d)y_0-k(a/d)$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {         //x，y初始为任意值，最后变为一组特解
    if(b == 0) {        //对应最终情况，a=gcd(a,b),b=0,此时x=1，y为任意数
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);      //先递归到最终情况，再反推出初始情况
    int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
    return r;     //gcd(a,b)
}

线性同余方程

$\ n)$

$性质：d=gcd(a,n)，若d|b，则方程恰好有d个模n不同余的解，否则方程无解\ 若x_0是方程的任一解，则该方程对模n有d个不同的解，分别为x_i=x_0+k(b/d),(k=0,1,2,…,d-1)$

$解法：ax_0+ny_0=d，利用扩展欧几里得求出一组特解(x_0,y_0) 然后，x=x_0(b/d)\%n就是原方程的一个解,\且其有d个不同的解，为x_i=(x+k(b/d))\%n，0<=k< d$

中国剩余定理

$x\equiv a_1(mod\ m_1)\ x\equiv a_2(mod\ m_2)\ ...\ x\equiv a_n(mod\ m_n)\$

m_i互质时

$M=\prod_{i=1}^n,M_i=\frac{M}{m_i},t_iM_i\equiv1(mod\ m_i)$

$x=kM+\sum_{i=1}^na_it_iM_i$

int CRT(int a[], int m[], int n) {
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        M *= m[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        exgcd(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

m_i不互质时

假设已求出前 $k - 1$ 个方程的解 $x_{k-1}$ ,设 $M=LCM(m_i)$

前 $k - 1$ 个方程满足 $x_{k-1}+tM \equiv a_i(mod \ m_i)$ ,即通解为 $x=x_{k-1}+tM$

求解第 $k$ 个方程则令 $x_k=x_{k-1}+tM$ ,代入可得 $x_{k-1}+tM \equiv a_k(mod \ m_k)$

即 $\equiv a_k -x_{k-1}(mod \ m_k)$

所以可以通过 $e x g c d$ 得到 $t$ 的值，然后得出 $x_k$ 的值

#define ll long long
ll Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    ll gcd=Exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return gcd;
}
ll Ex_crt()
{
    ll lcm=mod[1],last_x=a[1],t;
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        ll lcm_a=((a[i]-last_x)%mod[i]+mod[i])%mod[i],x,y,k=lcm;
        ll gcd=Exgcd(lcm,mod[i],x,y);
        t=(x*lcm_a/gcd%(mod[i]/gcd)+(mod[i]/gcd))%(mod[i]/gcd);
        lcm=lcm*mod[i]/gcd,last_x=(last_x+k*t)%lcm;
    }
    return (last_x%lcm+lcm)%lcm;
}

乘法逆元

若 $\equiv 1(mod \ n)$ 则称 $x$ 是 $\ n$ 意义下 $a$ 的乘法逆元，记 $x = i n v (a)$ 或 $x=a^{-1}$

可由欧拉定理，费马小定理，欧几里得扩展得逆元。

二次同余方程

$x^2 \equiv n(mod \ p)$ ,即 $x^2=n+kp$ ( $p$ 是奇质数)

用法： $x^2 \equiv n(mod \ p)\rightarrow x \equiv \sqrt n (mod \ p)$ ，即若二次同余方程有解，n可以在 $\ p$ 的意义下开根号。

引理： $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1(mod \ p)$ 可由费马小定理经由平方差公式得到

勒让德符号： $n^{\frac{p-1}{2} }mod \ p$

若 $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod \ p)$ ,则二次同余方程有解

找到一个 $a$ 满足 $w=a^2-n$ 为一个模 $p$ 的非二次剩余

得到 $(a+\sqrt w)^p \equiv a^p+w^{\frac{p-1}{2}}\sqrt {w} \equiv a-\sqrt w(mod \ p)$

所以
$\begin{aligned} (a + \sqrt{w})^{p + 1} & \equiv (a + \sqrt{w})^{p} (a + \sqrt{w}) \\ \equiv (a - \sqrt{w}) (a + \sqrt{w}) \\ \equiv a^{2} - w \\ \equiv n (m o d p) \end{aligned}$
这里定义一个类似复数域的二次域，其中 $i^2=a^2-n=w$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
int t;
ll n, p;
ll w;

struct num {  //建立一个复数域
  ll x, y;
};

num mul(num a, num b, ll p) {  //复数乘法
  num ans = {0, 0};
  ans.x = ((a.x * b.x % p + a.y * b.y % p * w % p) % p + p) % p;
  ans.y = ((a.x * b.y % p + a.y * b.x % p) % p + p) % p;
  return ans;
}

ll binpow_real(ll a, ll b, ll p) {  //实部快速幂
  ll ans = 1;
  while (b) {
    if (b & 1) ans = ans * a % p;
    a = a * a % p;
    b >>= 1;
  }
  return ans % p;
}

ll binpow_imag(num a, ll b, ll p) {  //虚部快速幂
  num ans = {1, 0};
  while (b) {
    if (b & 1) ans = mul(ans, a, p);
    a = mul(a, a, p);
    b >>= 1;
  }
  return ans.x % p;
}

ll cipolla(ll n, ll p) {
  n %= p;
  if (p == 2) return n;
  if (binpow_real(n, (p - 1) / 2, p) == p - 1) return -1;//如果勒让德符号为-1，无解
  ll a;
  while (1) {  //生成随机数再检验找到满足非二次剩余的a（勒让德符号为-1）
    a = rand() % p;
    w = ((a * a % p - n) % p + p) % p;
    if (binpow_real(w, (p - 1) / 2, p) == p - 1) break;
  }
  num x = {a, 1};
  return binpow_imag(x, (p + 1) / 2, p);
}

素数

反素数

任何小于 $n$ 的正数的约数个数都小于 $n$ 的约数个数,称 $n$ 为反素数。

由其特性可知， $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k_n}$ , $p_1=2,且k_1 \geq k_2 \geq k3 \geq ... \geq k_n$

极端情况为 $n=p_1p_2...p_n$ ，枚举到最大 $n$ 的 $p_n$ 即可，最多枚举到 $n=2^k$ ,k次即可。

具体实现：

当前走到的数字已经大于我们想要的数字了
当前因子大于我们想要的因子了
当前因子正好是我们想要的因子（此时判断是否需要更新最小）

然后 dfs 里面不断一层一层枚举次数继续往下迭代

欧拉筛

void euler_sieve_with_phi(int n)
{
    totPrimes = 0;
    phi[1] = 1;
    memset(flag, 0, sizeof(flag));

    for (int i = 2; i <= n; i++) 
    {
        if (!flag[i]) 
        {
            primes[totPrimes++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) 
        {
            flag[i*primes[j]] = true;
            if (i % primes[j])
                phi[i*primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            else 
            {
                phi[i*primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
        }
    }
}

素性测试

Miller Rabin:

bool millerRabbin(int n) {
  if (n < 3) return n == 2;
  int a = n - 1, b = 0;
  while (a % 2 == 0) a /= 2, ++b;
  // test_time 为测试次数,建议设为不小于 8
  // 的整数以保证正确率,但也不宜过大,否则会影响效率
  for (int i = 1, j; i <= test_time; ++i) {
    int x = rand() % (n - 2) + 2, v = quickPow(x, a, n);
    if (v == 1 || v == n - 1) continue;
    for (j = 0; j < b; ++j) {
      v = (long long)v * v % n;
      if (v == n - 1) break;
    }
    if (j >= b) return 0;
  }
  return 1;
}

__EOF__

本文作者：waby
本文链接：https://www.cnblogs.com/waby/p/15857128.html
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posted @ 2022-01-30 16:43 waby 阅读(38) 评论(0) 编辑收藏举报

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