数据结构与算法面试题80道（18）

第18题:

题目:n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈，从数字0开始，

每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字)。

当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

July:我想，这个题目，不少人已经 见识过了。

 

典型的约瑟夫环

 

 

首先：定义最初的n个数字（0,1,…,n-1）中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。 在这n个数字中，第一个被删除的数字是m%n-1，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面函数，记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m)，所以   f(n,m)=f’(n-1,m)   。
　　然后：来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列：

 

　　k+1     ->     0 
　　k+2     ->     1 
　　… 
　　n-1     ->     n-k-2 
　　0        ->     n-k-1 
　　… 
　　k-1     ->     n-2 

 

　　1）把这个映射定义为p，则p(x)= (x-k-1)%n，即如果映射前的数字是x，则映射后的数字是(x-k-1)%n。

 

　　2）对应的逆映射是p逆(x)=(x+k+1)%n，即如果映射后的数字是x，则映射前的数字是(x-k-1)%n。

 

　　由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p逆 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。 
　　经过上面复杂的分析，我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字，并可以依此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为：

 

         　　　　　　 0                  　　　 　　　　 n=1 
　　　　f(n,m)={ 
          　　　　　　[f(n-1,m)+m]%n    　　  　　n>1 

 

递归实现

#include<iostream>
using namespace std;
int round(int n,int m){
    if(n==1) return 0;
    else (round(n-1,m)+m)%n;
}

int main(){
    cout<<round(5,4)<<endl;
    return 0;
}