[AcWing 3488] 最短路径

贪心 + 连通性 + 最短路

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 100000;

int n, m;
int d[N][N];
int p[N];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        p[i] = i;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        d[i][i] = 0;
    for (int i = 0, len = 1; i < m; i ++, len = len * 2 % mod) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb)
            continue;
        p[pa] = pb;
        d[a][b] = d[b][a] = len;
    }
    for (int k = 0; k < n; k ++)
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    for (int i = 1; i < n; i ++) {
        if (d[0][i] > INF / 2)
            cout << "-1" << endl;
        else
            cout << d[0][i] % mod << endl;
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 第 $k$ 条路的长度为 $2^k$，$2^k > 1 + 2 + \cdots + 2^{k - 1}$，也就是说，第 $k$ 条路的长度大于前面所有路的长度之和，设 $a, b$ 是第 $k$ 条路的两个端点，考虑下面两种情况：
   ① $a, b$ 已经连通，从 $a$ 到 $b$ 的距离一定小于第 $k$ 条路的距离，第 $k$ 条路可以跳过
   ② $a, b$ 未连通，此时将 $a, b$ 连通，一定比后续 $a, b$ 连通的距离小，第 $k$ 条路应该选上，将 $a, b$ 连通
2. 1 中算法过程，实际和 $Kruskal$ 算法相同，最终得到的一定是一个最小生成树，$0$ 到其他任意点都只有唯一确定的一条路径，存边的时候可以直接存取模后的值（因为加法取模可以拆开），直接用 $Floyd$ 跑一边最短路即可