[AcWing 197] 阶乘分解

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
vector<int> primes;
bool st[N];

void get_primes(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x; i ++) {
        if (!st[i])
            primes.push_back(i);
        for (auto p : primes) {
            if (p * i > x)
                break;
            st[p * i] = true;
            if (i % p == 0)
                break;
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n;
    get_primes(n);
    for (auto p : primes) {
        int s = 0;
        for (int i = n; i; i /= p)
            s += i / p;
        cout << p << ' ' << s << endl;
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 首先用线性筛法筛出所有小于等于 $n$ 的质数，对于一个质数 $p$，可以求出在 $n!$ 中出现多少次：
   ① $p$ 的倍数在 $1$ ~ $n$ 中出现的次数，即 $\frac{n}{p}$
   ② $p^2$ 的倍数在 $1$ ~ $n$ 中出现的次数，即 $\frac{n}{p^2}$
   $\cdots$
   ③ $p^k$ 的倍数在 $1$ ~ $n$ 中出现的次数，即 $\frac{n}{p^k}$
   由于求的是次方数，$p$ 的倍数是 $1$ 次方，$p^2$ 的倍数是 $2$ 次方，$\cdots$，$p^k$ 的倍数是 $k$ 次方，对于 $p^2$，在计算 $p$ 的倍数时会加 $1$ 次（$p^2 = p \cdot p$），在计算 $p^2$ 的倍数时会加 $1$ 次（$p^2 = 1 \cdot p^2$），总共加了 $2$ 次，刚好是次方数，对于 $p^3$，在计算 $p$ 的倍数时会加 $1$ 次（$p^3 = p^2 \cdot p$），在计算 $p^2$ 的倍数时会加 $1$ 次（$p^2 = p \cdot p^2$），在计算 $p^3$ 的倍数时会加 $1$ 次（$p^3 = 1 \cdot p^3$），总共加了 $3$ 次，刚好是次方数
   即对于 $p^k$，会在 $p, p^2, \cdots ,p^k$ 各加 $1$ 次，总共 $k$ 次，刚好是次方数
   故 $p$ 的次方数为 $s = \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \cdots + \frac{n}{p^k}$
2. 任意质数必定至少出现一次，因为筛出来的是满足小于等于 $n$ 的质数