[AcWing 4502] 集合操作

单调性

---

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m, op;
int a[N];

void solve()
{
    scanf("%d", &m);
    double sum = 0;
    int k = 0;
    while (m --) {
        scanf("%d", &op);
        if (op == 1) {
            scanf("%d", &a[++ n]);
            sum += a[n] - a[n - 1];
        }
        else {
            while (k < n && a[k + 1] <= sum / (k + 1))
                sum += a[++ k];
            printf("%.10f\n", a[n] - sum / (k + 1));
        }
    }
}

signed main()
{
    // ios::sync_with_stdio(false);
    // cin.tie(nullptr);
    // cout.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

---

1. 当最大值确定时，选的是满足条件的前缀
   设数组为 $a_1, a_2, \cdots a_x \cdots$，$a_x$ 是目前所选的最大值，要保证平均值最小，应尽可能多的选一些值较小的元素，数组是单调递增的，除 $a_x$ 外，所选的其他值应是数组的前缀，设 $\bar{x}_1 = \frac{\sum^{k}_{i = 1}a_i + a_x}{k + 1}$，$\bar{x}_2 = \frac{\sum^{k + 1}_{i = 1}a_i + a_x}{k + 2}$，令 $\bar{x}_1 \geqslant \bar{x}_2$， 解得 $a_{k + 1} \leqslant \bar{x}_1$，在满足 $a_{k+1} \leqslant \bar{x}_1$ 的情况下，将 $a_{k + 1}$ 加入平均值，总能使平均值变小，所以当最大值确定时，要让平均值最小，应取满足 $a_i \leqslant \bar{x}$ 的最长的前缀
2. 最大值应选当前数组的最后一项元素
   不妨设 $x_1 < x_2$，当选 $x_1$ 时，目标函数为 $y_1 = x_1 - \frac{\sum^{k}_{i = 1}a_i + x_1}{k + 1} = \frac{k \cdot x_1}{k + 1} + \frac{\sum^{k}_{i = 1}a_i}{k + 1}$，当选 $x_2$ 时，一定也可以选到 $k$ 这个位置，选 $k$ 这个位置时的目标函数为 $y_2 = x_2 - \frac{\sum^{k}_{i = 1}a_i + x_2}{k + 1} = \frac{k \cdot x_2}{k + 1} + \frac{\sum^{k}_{i = 1}a_i}{k + 1}$，可以发现 $y_1 < y_2$，选后一项一定比前一项更优，故最大值应选当前数组的最后一项元素