[AcWing 479] 加分二叉树

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#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 50;

int n;
int w[N];
int f[N][N], g[N][N];

void dfs(int l, int r)
{
    if (l > r)
        return;
    int root = g[l][r];
    cout << root << ' ';
    dfs(l, root - 1);
    dfs(root + 1, r);
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cin >> w[i];
    for (int len = 1; len <= n; len ++)
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l ++) {
            int r = l + len - 1;
            if (len == 1) {
                f[l][r] = w[l];
                g[l][r] = l;
                continue;
            }
            for (int k = l; k <= r; k ++) {
                int left = k == l ? 1 : f[l][k - 1];
                int right = k == r ? 1 : f[k + 1][r];
                int score = left * right + w[k];
                if (f[l][r] < score) {
                    f[l][r] = score;
                    g[l][r] = k;
                }
            }
        }
    cout << f[1][n] << endl;
    dfs(1, n);
    return 0;
}

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1. 状态表示
   $f[i][j]$ 表示将 $[i,j]$ 组成一棵树的最大分数
   $g[i][j]$ 表示 $[i,j]$ 组成树的根节点
2. 状态计算
   对于 $[l,r]$，枚举根节点的位置 $k$
   ① 若 $k = l$，说明没有左子树，左子树的分数 $left = 1$，右子树的分数 $right = f[k + 1][r]$
   ② 若 $k = r$，说明没有右子树，右子树的分数 $right = 1$，左子树的分数为 $left = f[l][k - 1]$
   ③ 若 $k \ \epsilon \ (l, r)$，说明有左子树和右子树，左子树的分数为 $left = f[l][k - 1]$，右子树的分数 $right = f[k + 1][r]$
   根节点的分数为 $w[k]$，总的分数为 $score = left \times right + w[k]$
   当 $score > f[l][r]$ 时，说明当前根节点的选法是更优的，更新 $f[l][r] = score$，$g[l][r] = k$
3. 输出方案
   $dfs(1, n)$ ，每次递归处理左子树和右子树