[AcWing 4487] 最长连续子序列

等价变形 + 前缀和 + 单调栈 + 二分

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n, res;
int a[N];
LL s[N];
vector<int> stk;

void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        a[i] -= 100;
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    stk.push_back(0);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (s[stk.back()] > s[i])
            stk.push_back(i);
        else if (s[stk.back()] < s[i]) {
            int l = 0, r = stk.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (s[stk[mid]] < s[i])
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1;
            }
            res = max(res, i - stk[l]);
        }
    }
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 等价变换
   对于式子 $\sum_{i=l}^{r}a_i > 100 \times (r - l + 1)$ 做等价变形得到 $\sum_{i=l}^{r}(a_i - 100) > 0$
2. 前缀和
   令 $b_i = a_i - 100$，上式变为 $\sum_{i=l}^{r}b_i > 0$，用 $s_i$ 表示 $b$ 的前 $i$ 项的前缀和，得到 $s_r - s_{l-1} > 0$，即 $s_r > s_{l-1}$
3. 单调栈
   循环区间的右端点，$r = 1$ ~ $n$，对于每一个 $r$ 的取值，找到小于 $r$ 的，下标最小的，且满足 $s_{l-1} < s_r$ 的 $l - 1$，区间的长度为 $r - (l - 1)$
   构造单调递减的单调栈，原因：对于 $s_i$ 和 $s_{i+1}$，如果 $s_i \leqslant s_{i+1}$，由于要找的是满足小于一个值的，且下标最小的位置，$s_i$ 一定是优于 $s_{i+1}$ 的，也就是说，只有当有比栈顶元素更小的值时，才会入栈，从而保证了栈是单调递减的
4. 二分
   在单调栈中二分查找出满足 $s_i < s_r$ 的最小的 $i$，区间 $[i+1,r]$ 即为满足条件的一个区间