[AcWing 532] 货币系统

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#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int v[N];
int f[M];

int main()
{
	int T; 
	cin >> T;
	while (T --) {
		int n;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i ++)	cin >> v[i];
		sort(v + 1, v + 1 + n);
		int m = v[n];
		memset(f, 0, sizeof f);
		f[0] = 1;
		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i ++) {
			if (!f[v[i]])	res ++;
			for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
				f[j] += f[j - v[i]];
		}
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
}

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1. 性质
   ① $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 一定都可以被表示出来
   ② 在最优解中，$b_1,b_2,\cdots,b_m$ 一定都是从 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中选择出来的
   证明：如果只有 $b_i$ 不是从 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中选择出来的，那么 $b_i$ 一定可以用 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 表示，而 $a_i$ 又可以用 $b_j$ 表示，从而 $b_i$ 一定可以用其他的 $b_j$ 表示，$b_i$ 一定不在最优解中
   ③ $b_1,b_2,\cdots,b_m$ 一定不能被其他 $b_i$ 表示出来
2. 状态表示
   $f[i][j]$ 表示从前 $i$ 种物品中选，并且总体积等于 $v[i]$ 的方案数
3. 状态计算 (类比完全背包)
   $f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v[i]]$
4. 最优策略
   ① 若 $f[i][j] = 0$，需要选上 $v[i]$
   ② 若 $f[i][j] > 0$，不需要选 $v[i]$