[AcWing 896] 最长上升子序列 II

贪心 + 二分 复杂度 $O(n \cdot log(n))$

总体复杂度 $1 \times 10^{5} \times log(1 \times 10^{5} ) \approx 1.66 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++)	cin >> a[i];
	int len = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
		int l = 0, r = len;
		while (l < r) {
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (q[mid] < a[i])	l = mid;
			else	r = mid - 1;
		}
		len = max(len, r + 1);
		q[r + 1] = a[i];
	}
	cout << len << endl;
	return 0;
}

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1. $q[i]$ 代表长度为 $i$ 时结尾的最小值，$q[i]$ 严格单调递增，证明：
   如果 $q[i] >= q[i + 1]$ ，那么长度为 $i + 1$ 的序列一定存在一个长度为 $i$ 的子序列 ，$q^{'} [i] < q[i + 1] <= q[i]$ ，与 $q[i]$ 的定义矛盾；
2. 算法思路：每次使用二分找到长度最大，且结尾元素小于 $a[i]$ 的 $q[j]$ ，并用 $a[i]$ 更新 $q[j+1]$ (一定满足 $q[j] < a[i] <= q[j + 1]$ ，所以可以用 $a[i]$ 更新 $q[j+1]$ )
3. 二分的区间为 $[0,len]$ ，使用二分模板，$l = mid$ 所以要 $mid = l + r + 1 >> 1$ ，二分的结果是 $l = r =$ 满足条件的 $q[j]$ 的索引 $j$