[AcWing 2] 01背包问题

1. 朴素做法（二维数组）

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

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1. $f[i][j]$：前 $i$ 个物品，背包容量为 $j$ 的条件下的最大价值
2. $f[i][j]$ 可以分成两种情况
   ① 不选第 $i$ 个物品，只在前 $i - 1$ 个物品中选择，对应了 $f[i][j] = f[i-1][j]$
   ② 选第 $i$ 个物品，前提是能够装得下第 $i$ 个物品，也就是 $j >= v[i]$，在这种情况下，还需要在前 $i - 1$ 个物品中选择，背包容量为 $j - v[i]$，也就是 $f[i - 1][j - v[i]]$，最后的 $f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]$
3. 状态转移：$f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i])$ ，
   $f[i-1][j-v[i]] + w[i]$ 存在的前提是 $j >= v[i]$

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2. 一维数组优化

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

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1. $f[i][j]$ 的状态转移仅依赖于 $f[i-1][0]$ ~ $f[i-1][m]$ ，可以用一维数组来进行更新，每次枚举到 $i$ 时，当前的 $f[j]$ 都相当于是 $f[i-1][j]$
2. $j$ 要从 $m$ 枚举到 $j >= v[i]$，原因如下：
   ① $j$ 要从后往前枚举：$f[j]$ 的更新依赖的是 $i - 1$ 对应的 $f[j]$，需要保证在更新时，$f[j]$ 的更新不会影响到后续的 $f[j']$ 的更新，$f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i])$，可以发现，对于 $j$ 的更新依赖的是 $j$ 和 $j - v[i]$，这两项都小于等于 $j$，那么从后往前枚举，$f[j]$ 的更新必然不会影响到 $f[j'] \ (j'<j)$ 的更新
   ② $j >= v[i]$ : 当 $j < v[i]$ 时，$f[i][j] = f[i - 1][j]$，而一维数组的 $f[j]$ 正是 $f[i-1][j]$，故不需要更新，循环体的内部是 $f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])$，这个状态更新的前提是 $j >= v[i]$