[AcWing 891] Nim游戏

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#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    while (n --) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if (res)    puts("Yes");
    else    puts("No");
    return 0;
}

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1. 先手必胜状态和先手必败状态
   ① 先手必胜状态：可以走到某一个必败状态；
   ② 先手必败状态：走不到任何一个必败状态；
2. 结论：假设 $n$ 堆石子，石子的数目分别是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，如果 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \neq 0$ ，则先手必胜，否则，先手必败
   ① $0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0$ ，说明没有石子可拿；
   ② 如果 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0$ ，那么玩家必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $0$
   证明：不妨设 $x$ 的二进制表示中，最高位 $1$ 在 $x$ 的第 $k$ 位，那么必然存在一个 $a_i$ ，$a_i$ 的第 $k$ 位为 $1$ （反证法：如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的第 $k$ 位都为 $0$，则 $x$ 的第 $k$ 位也必然为 $0$，与最高位 $1$ 在 $x$ 的第 $k$ 位矛盾），$a_i \oplus x < a_i$，那么从第 $i$ 堆石子中拿走 $(a_i - a_i \oplus x)$ 个石子，第 $i$ 堆石子还剩 $a_i - (a_i - a_i \oplus x) = a_i \oplus x$ ，此时 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \oplus x = 0$
   ③ 如果 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$，那么无论玩家怎么拿，最终的异或值都不为 $0$
   反证法：假设玩家从第 $i$ 堆石子拿走若干个，异或值为 $0$，不妨设第 $i$ 堆还剩下 $a_i^{'}$ 个，$0 \leqslant a_i^{'} < a_i$ ，$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n = 0$，那么 $(a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i \oplus \cdots \oplus a_n) \oplus (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n) = 0 \oplus (a_i \oplus a_i^{'}) = 0$，推出 $a_{i} \oplus a_{i}^{'} = 0 \rightarrow a_{i} = a_i^{'}$，与 $a_i^{'} < a_i$ 矛盾，证明完毕
   ④ 基于上述结论，当先手遇到的是 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0$，必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $0$，而后手无论怎么拿，最终的异或值都不为 $0$，不断重复这个过程，后手必然会遇到 $0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0$ 这一失败的局面，而当先手遇到的是 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$ 的局面时，都会给后手创造 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0$ 的局面，先手必败