[AcWing 887] 求组合数 III

复杂度 $g(n) \ log(n)$ (来自 OI Wiki)

总体复杂度 $20 \times 10^{5} \times log(10^{5}) \times log(10^{18}) = 4 \times 10^{7}$

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#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;
int p;

int qmi(int a, int k)
{
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1)  res = (LL) res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}
int C(int a, int b)
{
    if (a < b)  return 0;
    int res = 1;
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j --) {
        res = (LL) res * j % p;
        res = (LL) res * qmi(i, p - 2) % p;
    }
    return res;
}
int lucas(LL a, LL b)
{
    if (b == 0)     return 1;
    return (LL) C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --) {
        LL a, b;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a, b) << endl;
    }
    return 0;
}

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1. 复杂度分析
   复杂度为 $f(p) + g(n) \ log(n)$ ，其中，$f(p)$ 为预处理组合数的复杂度， $g(n)$ 为单次求组合数的复杂度，对应于本题中， 没有对组合数进行预处理，没有 $f(p)$ 这一项，$g(n)$ 是单次求组合数的复杂度，由于只有当 $a < p$ $, \ b < p$ 时，才会执行求组合数的函数，单次求组合数的复杂度为 $10^{5} \times log{10^{5}}$ ，$log(n)$ 中的 $n$ 是所要求的 $C_m^{n}$ 中的 $n$
2. 卢卡斯定理
   $C_a^{b} = C_{ a / p }^{ b / p } \cdot C_{a \bmod p}^{b \bmod p}$ $(mod \ p)$，证明如下：
   $(1 + x)^{ p } = C_p^{0} x^{0} + C_p^{1} x^{1} + \cdots + C_p^{p} x^{p} \equiv 1 + x^{p} \ (mod \ p)$ ，$a = a_0 p^{0} + a_1 p^{1} + \cdots + a_k p^{k}$ ，$b = b_0 p^{0} + b_1 p^{1} + \cdots + b_k p^{k}$ ，$(1 + x) ^ {a} = (1 + x) ^ { a_0 \cdot p^{0} + a_1 \cdot p^{1} + \cdots + a_k \cdot p^{k} } \equiv (1 + x) ^ {a_0} \ (1 + x ^ {p} ) ^ {a_1} \ \cdots \ (1 + x^{p_k} )^{a_k}$ ，两边同时求 $x^{b}$ 的系数，可以得到 $C_a^{b} \equiv C_{a_0}^{b_0} \ C_{a_1}^{b_1} \ \cdots \ C_{a_k}^{b_k} \ (mod \ p)$ ，这个式子和卢卡斯定理的式子是等价的；