[AcWing 885] 求组合数 I

递推 复杂度 $O(n^{2})$

总体复杂度 $2000^{2} = 4 \times 10^{6}$

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 2e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
int c[N][N];

void init()
{
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++)
        for (int j = 0; j <= i; j ++) {
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
        }

}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    init();
    while (n --) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        printf("%d\n", c[a][b]);
    }
    return 0;
}

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1. 组合数通项公式 $C_m^{n} = \frac{m!}{n! (m - n)!}$
2. 组合数递推公式 $C_m^{n} = C_{m - 1}^{n - 1} + C_{m - 1}^{n}$
   证明：从 $m$ 个不同的数中取 $n$ 个，第 $m$ 个数如果取的话有 $C_{m - 1}^{n - 1}$ 种取法 ，如果不取有 $C_{m - 1}^{n}$ 种取法；
3. 先计算出来所有的组合数，每次求 $C_{a}^{b}$ 只需要访问即可， $C_{m}^{0} = 1 \ (m = 0, 1, 2 \cdots)$ ；