[AcWing 883] 高斯消元解线性方程组

复杂度 $O(n^{3})$

总体复杂度 $100^{3} = 1 \times 10^{6}$

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#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-9;
int n;
double a[N][N];

int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++) {
        int t = r;
        // 找绝对值最大的行
        for (int i = r; i < n; i ++) {
            if (fabs(a[t][c]) < fabs(a[i][c]))
                t = i;
        }
        if (fabs(a[t][c]) < eps)    continue;
        // 将绝对值最大的行替换到最上面
        for (int i = c; i <= n; i ++)   swap(a[t][i], a[r][i]);
        // 将当前行的首位变成 1
        for (int i = n; i >= c; i --)   a[r][i] /= a[r][c];
        // 用当前行将下面所有的列消为 0
        for (int i = r + 1; i < n; i ++)
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j --)
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
        r ++;
    }
    if (r < n)  {
        for (int i = r; i < n; i ++)
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;   // 无解
        return 1;    // 无穷多组解
    }
    // 从下往上倒推出解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i --)
        for (int j = i + 1; j < n; j ++)
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
    return 0;    // 唯一解
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++)
            cin >> a[i][j];
    int t = gauss();
    if (t == 0) {
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            // 去掉 -0.00 的情况
            if (fabs(a[i][n]) < eps)    a[i][n] = 0;
            printf("%.2f\n", a[i][n]);
        }
    }
    else if (t == 1)    puts("Infinite group solutions");
    else    puts("No solution");
    return 0;
}

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1. 行列式的初等行列变换
   ① 把某一行乘以一个非零的常数；
   ② 交换某两行；
   ③ 把某一行的若干倍加到另一行；
2. 判断解的个数
   ① 完美阶梯型：唯一解；
   ② 出现 0 = 非 0 ：无解；
   ③ 出现 0 = 0：无穷多组解；
3. 高斯消元
   枚举每一列 c （已经换过的行不动，只对未换过的行执行以下操作）
   ① 找到绝对值最大的一行；（c 列中绝对值最大的）
   ② 将该行换到最上面；（未换过的行中的最上面，换过的行的下面）
   ③ 将该行的第一个数变为 1；
   ④ 将下面所有行的第 c 列清成 0；